giúpp mình viwis ạaaa Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho $A(-1;0;0),~B(0;0;2),~C(0;-3;0).$ Tính bán kính mặt cầu,ngoại tiếp tứ diện OABC ( làm tròn đến phần trăm). 1,87

Question

Accepted Answer

Câu 2.
Để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC:
   - Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là điểm cách đều các đỉnh O, A, B, C.

2. Xác định tọa độ tâm I:
   - Gọi tâm I có tọa độ là $(x, y, z)$.
   - Ta có các điều kiện:
     $$
     IO = IA = IB = IC
     $$
   - Biểu diễn các khoảng cách:
     $$
     IO^2 = x^2 + y^2 + z^2
     $$
     $$
     IA^2 = (x + 1)^2 + y^2 + z^2
     $$
     $$
     IB^2 = x^2 + y^2 + (z - 2)^2
     $$
     $$
     IC^2 = x^2 + (y + 3)^2 + z^2
     $$

3. Lập phương trình từ các điều kiện trên:
   - Từ $IO^2 = IA^2$, ta có:
     $$
     x^2 + y^2 + z^2 = (x + 1)^2 + y^2 + z^2
     $$
     $$
     x^2 = x^2 + 2x + 1
     $$
     $$
     0 = 2x + 1 \implies x = -\frac{1}{2}
     $$

- Từ $IO^2 = IB^2$, ta có:
     $$
     x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - 2)^2
     $$
     $$
     z^2 = z^2 - 4z + 4
     $$
     $$
     0 = -4z + 4 \implies z = 1
     $$

- Từ $IO^2 = IC^2$, ta có:
     $$
     x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y + 3)^2 + z^2
     $$
     $$
     y^2 = y^2 + 6y + 9
     $$
     $$
     0 = 6y + 9 \implies y = -\frac{3}{2}
     $$

4. Tọa độ tâm I:
   - Vậy tâm I có tọa độ là $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, 1\right)$.

5. Tính bán kính R của mặt cầu:
   - Bán kính R là khoảng cách từ tâm I đến bất kỳ đỉnh nào của tứ diện OABC, ví dụ đỉnh O:
     $$
     R = IO = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 1^2}
     $$
     $$
     R = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1}
     $$
     $$
     R = \sqrt{\frac{1 + 9 + 4}{4}} = \sqrt{\frac{14}{4}} = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}
     $$

6. Làm tròn đến phần trăm:
   - $\frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,87$

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là $\boxed{1,87}$.