Giúp mình với!

thị ân nguyễn

PHẦN II: TỰ LUẬN

Bài 13:

Tập hợp các số có thể chọn là $S = \{10; 11; 12; 13\}$.

Số phần tử của tập hợp $S$ là 4.

a) Gọi A là biến cố "Chọn được số chia hết cho 5".

Trong các số trên, chỉ có số 10 là chia hết cho 5.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 1.

Xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{1}{4}$.

b) Gọi B là biến cố "Chọn được số có hai chữ số".

Trong các số trên, các số 10; 11; 12; 13 đều là số có hai chữ số.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 4.

Xác suất của biến cố B là: $P(B) = \frac{4}{4} = 1$.

Bài 14:

Cho hai đa thức $f(x) = -2x^3 + 7 + 5x^4 - 2x^3$ và $g(x) = 5x^2 + 9x^3 - x^2 - 12$.

a) Thu gọn và sắp xếp:

$f(x) = -2x^3 + 7 + 5x^4 - 2x^3$

$f(x) = 5x^4 + (-2x^3 - 2x^3) + 7$

$f(x) = 5x^4 - 4x^3 + 7$

Đa thức $f(x)$ đã được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến là $f(x) = 5x^4 - 4x^3 + 7$.

$g(x) = 5x^2 + 9x^3 - x^2 - 12$

$g(x) = 9x^3 + (5x^2 - x^2) - 12$

$g(x) = 9x^3 + 4x^2 - 12$

Đa thức $g(x)$ đã được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến là $g(x) = 9x^3 + 4x^2 - 12$.

b) Tính $f(x) + g(x)$:

$f(x) + g(x) = (5x^4 - 4x^3 + 7) + (9x^3 + 4x^2 - 12)$

$f(x) + g(x) = 5x^4 + (-4x^3 + 9x^3) + 4x^2 + (7 - 12)$

$f(x) + g(x) = 5x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 5$

Bài 15:

Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB = 6$ cm; $BC = 10$ cm; $AC = 8$ cm.

a) So sánh các góc của tam giác ABC:

Trong tam giác ABC, ta có các cạnh: $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm, $BC = 10$ cm.

Vì $6 < 8 < 10$ nên $AB < AC < BC$.

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn.

Góc đối diện với cạnh AB là $\widehat{ACB}$ (hay $\widehat{C}$).

Góc đối diện với cạnh AC là $\widehat{ABC}$ (hay $\widehat{B}$).

Góc đối diện với cạnh BC là $\widehat{BAC}$ (hay $\widehat{A}$).

Do đó, $\widehat{ACB} < \widehat{ABC} < \widehat{BAC}$.

Hay $\widehat{C} < \widehat{B} < \widehat{A}$. (Biết $\widehat{A}=90^\circ$)

b) Tính MC:

Xét $\triangle DBC$.

Theo giả thiết, D nằm trên tia đối của tia AB sao cho A là trung điểm của BD. Suy ra A là trung điểm cạnh DB.

Do đó, CA là đường trung tuyến ứng với cạnh DB của $\triangle DBC$.

K là trung điểm của cạnh BC (theo giả thiết).

Do đó, DK là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của $\triangle DBC$.

M là giao điểm của DK và AC (theo giả thiết).

Suy ra M là giao điểm của hai đường trung tuyến CA và DK của $\triangle DBC$.

Do đó, M là trọng tâm của $\triangle DBC$.

Theo tính chất trọng tâm, trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 kể từ đỉnh.

Đối với trung tuyến CA, ta có $CM = \frac{2}{3} CA$.

Thay $CA = 8$ cm vào, ta được:

$CM = \frac{2}{3} \times 8 = \frac{16}{3}$ (cm).

Vậy $MC = \frac{16}{3}$ cm.

Bài 16:

Cho đa thức $P(x) = ax^2 + bx + c$ và $2a + b = 0$.

Ta có:

$P(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$.

$P(3) = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c$.

Từ giả thiết $2a + b = 0$, ta suy ra $b = -2a$.

Thay $b = -2a$ vào biểu thức của $P(-1)$ và $P(3)$:

$P(-1) = a - (-2a) + c = a + 2a + c = 3a + c$.

$P(3) = 9a + 3(-2a) + c = 9a - 6a + c = 3a + c$.

Xét tích $P(-1) \cdot P(3)$:

$P(-1) \cdot P(3) = (3a + c) \cdot (3a + c) = (3a + c)^2$.

Vì bình phương của một số thực luôn không âm, nên $(3a + c)^2 \ge 0$ với mọi giá trị của $a$ và $c$.

Vậy $P(-1) \cdot P(3) \ge 0$. (Điều phải chứng minh)