Câu 1.
Để tìm nguyên hàm của hàm số , chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này.
Nguyên hàm của là:
Nguyên hàm của là:
Vậy, nguyên hàm của là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 2.
Để xác định mệnh đề nào sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một.
A.
Theo định nghĩa của nguyên hàm, nếu là một nguyên hàm của thì , trong đó là hằng số tùy ý. Mệnh đề này đúng.
B.
Theo tính chất của đạo hàm và nguyên hàm, đạo hàm của nguyên hàm của một hàm số lại chính là hàm số ban đầu. Do đó, . Mệnh đề này đúng.
C.
Đạo hàm của một nguyên hàm của hàm số là , không phải là . Vì vậy, mệnh đề này sai.
D.
Do là một nguyên hàm của , nên đạo hàm của là . Do đó, . Mệnh đề này đúng.
Kết luận: Mệnh đề sai là C.
Câu 3.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân. Cụ thể, tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng các tích phân của từng hàm số.
Ta có:
Theo đề bài, ta biết rằng:
và
Do đó, ta thay các giá trị này vào công thức trên:
Vậy đáp án đúng là:
A. 5
Đáp số: A. 5
Câu 4.
Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng , , , và , chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tìm diện tích giữa hai đường cong.
Bước 1: Xác định khoảng tích phân
- Giới hạn trên là
- Giới hạn dưới là
Bước 2: Xác định hàm số đại diện cho diện tích
- Diện tích giới hạn bởi các đường thẳng , , , và có thể được tính bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hàm số và đường thẳng từ đến .
Bước 3: Viết công thức tích phân
- Diện tích S sẽ là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 5.
Ta xét từng mệnh đề:
A.
- Đây là tính chất của tích phân, theo đó tích phân của một hằng số nhân với một hàm số bằng hằng số đó nhân với tích phân của hàm số đó. Do đó, mệnh đề này đúng.
B.
- Mệnh đề này sai vì tích phân của một hằng số nhân với một hàm số không bao giờ bằng tổng của hằng số đó và tích phân của hàm số đó.
C.
- Mệnh đề này sai vì tích phân của một hằng số nhân với một hàm số không bằng tích phân của hàm số đó trừ khi hằng số đó bằng 1.
D.
- Mệnh đề này sai vì tích phân của một hằng số nhân với một hàm số không bằng tích phân của hàm số đó chia cho hằng số đó.
Vậy, mệnh đề đúng là:
A.
Đáp án: A.
Câu 6.
Để xác định mệnh đề đúng trong các lựa chọn đã cho, chúng ta cần kiểm tra từng mệnh đề dựa trên công thức tích phân của hàm cos(x).
Công thức tích phân của hàm cos(x) là:
Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề:
A.
- Đây là công thức đúng theo như đã nêu ở trên.
B.
- Đây là sai vì tích phân của cos(x) là sin(x) chứ không phải -sin(x).
C.
- Đây là sai vì tích phân của cos(x) là sin(x) chứ không phải -cos(x).
D.
- Đây là sai vì tích phân của cos(x) là sin(x) chứ không phải .
Vậy, mệnh đề đúng là:
Câu 7.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần sử dụng công thức tính tích phân của một hàm số liên tục trên một đoạn [a; b] khi biết nguyên hàm của hàm số đó.
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], tức là F'(x) = f(x).
Theo công thức Newton-Leibniz, tích phân của hàm số f(x) từ a đến b được tính như sau:
Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề:
A.
- Đây là công thức đúng theo Newton-Leibniz, nhưng nó không đúng vì trong mệnh đề này, cận trên là 3 và cận dưới là 1, không phải b và a.
B.
- Đây là công thức sai vì theo Newton-Leibniz, tích phân từ a đến b phải là F(b) - F(a), không phải F(a) - F(b).
C.
- Đây là công thức sai vì theo Newton-Leibniz, tích phân từ a đến b phải là F(b) - F(a), không phải F(b) + F(a).
D.
- Đây là công thức sai vì theo Newton-Leibniz, tích phân từ a đến b phải là F(b) - F(a), không phải -F(b) - F(a).
Như vậy, mệnh đề đúng là:
Đáp án: A.
Câu 8.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục Ox và hai đường thẳng , được tính theo công thức:
Trong các lựa chọn đã cho, chỉ có đáp án A đúng với công thức này khi và . Tuy nhiên, chúng ta cần kiểm tra lại các giới hạn của tích phân trong các đáp án khác để đảm bảo rằng chúng không phù hợp với yêu cầu của câu hỏi.
- Đáp án A:
- Đáp án B:
- Đáp án C:
- Đáp án D:
Trong đó:
- Đáp án B có dấu trừ trước tích phân, điều này không đúng vì diện tích không thể là số âm.
- Đáp án C và D liên quan đến và bình phương của hàm số, điều này không phù hợp với công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục Ox và hai đường thẳng.
Do đó, đáp án đúng là: