sosssssssss

Câu 25. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Bán kính đường tròn (C) là \( r = 5 \). Diện tích của đường tròn (C) là \( 25\pi \). Diện tích của một đường tròn được tính bằng công thức: \[ S = \pi r^2 \] Do đó: \[ 25\pi = \pi r^2 \] \[ r^2 = 25 \] \[ r = 5 \] Khẳng định này là đúng. b) Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là 3. Khoảng cách từ một điểm \( I(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào bài toán: \[ I(-1, 2, -1) \] \[ (P): x - 2y + 2z - 2 = 0 \] Ta có: \[ d = \frac{|-1 - 2(2) + 2(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|-1 - 4 - 2 - 2|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ d = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{9}{3} \] \[ d = 3 \] Khẳng định này là đúng. c) Tâm đường tròn (C) có tọa độ là \( H(1, 3, 1) \). Tâm đường tròn (C) nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) đi qua tâm I. Đường thẳng này có phương vector pháp tuyến của mặt phẳng (P), tức là \( \vec{n} = (1, -2, 2) \). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua I và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \): \[ x = -1 + t \] \[ y = 2 - 2t \] \[ z = -1 + 2t \] Tâm đường tròn (C) là giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng (P). Thay vào phương trình của mặt phẳng (P): \[ (-1 + t) - 2(2 - 2t) + 2(-1 + 2t) - 2 = 0 \] \[ -1 + t - 4 + 4t - 2 + 4t - 2 = 0 \] \[ 9t - 9 = 0 \] \[ t = 1 \] Thay \( t = 1 \) vào phương trình tham số: \[ x = -1 + 1 = 0 \] \[ y = 2 - 2(1) = 0 \] \[ z = -1 + 2(1) = 1 \] Tâm đường tròn (C) là \( H(0, 0, 1) \), không phải \( H(1, 3, 1) \). Khẳng định này là sai. d) Phương trình mặt cầu (S) là \( (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 16 \). Bán kính của mặt cầu (S) là khoảng cách từ tâm I đến tâm đường tròn (C) cộng với bán kính đường tròn (C). Khoảng cách từ I đến tâm đường tròn (C) là 3 (đã tính ở phần b). Bán kính đường tròn (C) là 5 (đã tính ở phần a). Bán kính của mặt cầu (S) là: \[ R = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \] Phương trình mặt cầu (S) là: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = (\sqrt{34})^2 \] \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 34 \] Khẳng định này là sai. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Câu 26. Để giải quyết các khẳng định về xác suất, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên thông tin đã cho. Khẳng định a) \( P(A) = \frac{5}{10} \) - Số học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh là 25. - Tổng số học sinh là 45. Xác suất \( P(A) \) là: \[ P(A) = \frac{\text{số học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh}}{\text{tổng số học sinh}} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9} \] Khẳng định này sai vì \( \frac{5}{9} \neq \frac{5}{10} \). Khẳng định b) \( P(B) = \frac{7}{20} \) - Số học sinh tham gia câu lạc bộ Nhảy là 16. - Tổng số học sinh là 45. Xác suất \( P(B) \) là: \[ P(B) = \frac{\text{số học sinh tham gia câu lạc bộ Nhảy}}{\text{tổng số học sinh}} = \frac{16}{45} \] Khẳng định này sai vì \( \frac{16}{45} \neq \frac{7}{20} \). Khẳng định c) \( P(A|B) = 0,75 \) - Số học sinh vừa tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Nhảy là 12. - Số học sinh tham gia câu lạc bộ Nhảy là 16. Xác suất \( P(A|B) \) là: \[ P(A|B) = \frac{\text{số học sinh vừa tham gia cả hai câu lạc bộ}}{\text{số học sinh tham gia câu lạc bộ Nhảy}} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0,75 \] Khẳng định này đúng. Khẳng định d) \( P(B|A) = 0,48 \) - Số học sinh vừa tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Nhảy là 12. - Số học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh là 25. Xác suất \( P(B|A) \) là: \[ P(B|A) = \frac{\text{số học sinh vừa tham gia cả hai câu lạc bộ}}{\text{số học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh}} = \frac{12}{25} = 0,48 \] Khẳng định này đúng. Kết luận - Khẳng định a) sai. - Khẳng định b) sai. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) đúng. Câu 27. a) Ta tính khoảng cách từ điểm $A(4;0;0)$ đến điểm $M(4;2;2)$: \[ AM = \sqrt{(4-4)^2 + (2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Vì $2\sqrt{2} < 4$, nên điểm $M(4;2;2)$ thuộc vùng phủ sóng của thiết bị. b) Tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu có tâm tại $A(4;0;0)$ và bán kính bằng 4. Phương trình của mặt cầu này là: \[ (x - 4)^2 + y^2 + z^2 = 16 \] c) Để kiểm tra xem tấm sắt có chắn được sóng của thiết bị hay không, ta cần xem xét khoảng cách từ tâm $A(4;0;0)$ đến mặt phẳng $(P): x + y - z = 6$. Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó, $(a, b, c) = (1, 1, -1)$ và $d = -6$, điểm $(x_0, y_0, z_0) = (4, 0, 0)$: \[ d = \frac{|1 \cdot 4 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 - 6|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \] Vì $\frac{2\sqrt{3}}{3} < 4$, nên mặt phẳng $(P)$ cắt qua vùng phủ sóng của thiết bị, tức là tấm sắt chắn được sóng của thiết bị. d) Vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng $(P)$ là hình tròn có bán kính bằng khoảng cách từ tâm $A(4;0;0)$ đến mặt phẳng $(P)$ và phần còn lại trong bán kính 4 của mặt cầu. Ta đã tính khoảng cách từ tâm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ là $\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Bán kính của hình tròn này sẽ là: \[ r = \sqrt{4^2 - \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{16 - \frac{4 \cdot 3}{9}} = \sqrt{16 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{48}{3} - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{44}{3}} = \frac{2\sqrt{33}}{3} \] Tóm lại: a) Điểm $M(4;2;2)$ thuộc vùng phủ sóng. b) Tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình $(x - 4)^2 + y^2 + z^2 = 16$. c) Tấm sắt chắn được sóng của thiết bị. d) Vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng $(P)$ là hình tròn có bán kính $\frac{2\sqrt{33}}{3}$.