giúp tô vs

Câu 13: Để xác định tâm và bán kính của đường tròn $(C)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình đường tròn dưới dạng chuẩn: Phương trình ban đầu là: \[ x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0 \] 2. Hoàn thành bình phương: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\): \[ (x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) = 12 \] Hoàn thành bình phương cho mỗi nhóm: \[ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 12 + 4 + 9 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25 \] 3. Nhận dạng tâm và bán kính: Phương trình chuẩn của đường tròn có dạng: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] So sánh với phương trình đã hoàn thành bình phương: \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2 \] Ta thấy tâm của đường tròn là \(I(2, 3)\) và bán kính là \(R = 5\). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~I(2;3),~R=5} \] Câu 14: Phương trình chính tắc của hyperbol có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ hoặc $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$, trong đó $a^2 > 0$ và $b^2 > 0$. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình: A. $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$ - Đây là phương trình chính tắc của elip, không phải hyperbol vì cả hai mẫu số đều dương và có dấu cộng giữa chúng. B. $\frac{x^2}{\frac{1}{5}} + \frac{y^2}{\frac{1}{2}} = 1$ - Đây cũng là phương trình chính tắc của elip, không phải hyperbol vì cả hai mẫu số đều dương và có dấu cộng giữa chúng. C. $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = -1$ - Phương trình này không thể đúng vì tổng của hai phân số dương không thể bằng -1. D. $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1$ - Đây là phương trình chính tắc của hyperbol vì nó có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a^2 = 16$ và $b^2 = 4$. Vậy phương trình chính tắc của hyperbol là $\textcircled{D.}~\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1$. Câu 15: Có tổng cộng 5 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen, vậy tổng số quả cầu trong hộp là: \[ 5 + 3 = 8 \] Do đó, có 8 cách để chọn một trong các quả cầu ấy. Đáp án đúng là: B. 8 Câu 16: Công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử là: \[ C^k_n = \frac{n!}{(n-k)!k!} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~C^k_n = \frac{n!}{(n-k)!k!} \] Lập luận từng bước: - Số tổ hợp chập k của n phần tử là số cách chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. - Công thức này được sử dụng để tính số tổ hợp, trong đó \( n! \) là giai thừa của n, \( (n-k)! \) là giai thừa của \( n-k \), và \( k! \) là giai thừa của k. Vậy đáp án đúng là: \[ B.~C^k_n = \frac{n!}{(n-k)!k!} \] Câu 17: Công thức tính số chính hợp chập k của n phần tử là: $A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$ Vậy đáp án đúng là: A. $A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$ Lập luận từng bước: - Số chính hợp chập k của n phần tử là số cách chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. - Công thức tính số chính hợp chập k của n phần tử là $\frac{n!}{(n-k)!}$. Đáp án: A. $A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$ Câu 18: Biến cố đối của biến cố "Lấy được viên bi xanh" là biến cố "Không lấy được viên bi xanh", tức là lấy được viên bi khác màu xanh. Trong hộp có bốn loại bi: xanh, đỏ, trắng và vàng. Vậy biến cố đối của "Lấy được viên bi xanh" là "Lấy được viên bi đỏ, trắng hoặc vàng". Do đó, đáp án đúng là: D. Lấy được viên bi vàng hoặc viên bi trắng, hoặc viên bi đỏ. Câu 19: Để giải bài toán xác suất này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số cách chọn 2 quả cầu từ 5 quả cầu: - Số cách chọn 2 quả cầu từ 5 quả cầu là: \[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] 2. Tính số cách chọn 2 quả cầu trắng từ 3 quả cầu trắng: - Số cách chọn 2 quả cầu trắng từ 3 quả cầu trắng là: \[ C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 \] 3. Tính xác suất để lấy được cả hai quả cầu màu trắng: - Xác suất để lấy được cả hai quả cầu màu trắng là: \[ P(\text{cả hai quả cầu trắng}) = \frac{\text{số cách chọn 2 quả cầu trắng}}{\text{tổng số cách chọn 2 quả cầu}} = \frac{3}{10} \] Vậy xác suất để lấy được cả hai quả cầu màu trắng là $\frac{3}{10}$. Đáp án đúng là: $B.~\frac{3}{10}$. Câu 21: Khi gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất, mỗi con xúc xắc có 6 mặt, do đó tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[ 6 \times 6 = 36 \] Ta cần tìm các trường hợp mà tổng số chấm trên cả hai con xúc xắc bằng 5. Các cặp kết quả có tổng bằng 5 là: - (1, 4) - (2, 3) - (3, 2) - (4, 1) Như vậy, có 4 trường hợp thỏa mãn điều kiện tổng số chấm bằng 5. Xác suất để tổng số chấm trên cả hai con xúc xắc bằng 5 là: \[ \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~\frac{1}{9} \] Câu 22: Khi gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất, mỗi con xúc xắc có thể xuất hiện một trong 6 mặt có số chấm từ 1 đến 6. Do đó, tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[ 6 \times 6 = 36 \] Ta cần tính xác suất để số chấm trên cả hai con xúc xắc bằng nhau. Các trường hợp mà số chấm trên cả hai con xúc xắc bằng nhau là: - Cả hai con xúc xắc đều xuất hiện mặt có 1 chấm. - Cả hai con xúc xắc đều xuất hiện mặt có 2 chấm. - Cả hai con xúc xắc đều xuất hiện mặt có 3 chấm. - Cả hai con xúc xắc đều xuất hiện mặt có 4 chấm. - Cả hai con xúc xắc đều xuất hiện mặt có 5 chấm. - Cả hai con xúc xắc đều xuất hiện mặt có 6 chấm. Như vậy, có 6 trường hợp mà số chấm trên cả hai con xúc xắc bằng nhau. Xác suất để số chấm trên cả hai con xúc xắc bằng nhau là: \[ \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{tổng số trường hợp có thể xảy ra}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \] Vậy đáp án đúng là B. $\frac{1}{6}$. Câu 23: Để tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}(1;2)$ và $\overrightarrow{v}(-2;1)$, ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã tính vào công thức cosin: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{0}{5} = 0 \] Khi $\cos(\theta) = 0$, góc $\theta$ giữa hai vectơ là $90^\circ$. Do đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là $90^\circ$. Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 90^\circ \] Câu 24: Để xác định tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \), ta cần biết rằng tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). Trong bài này, ta đã biết tọa độ đỉnh của parabol là \( (2, f(2)) \). Điều này có nghĩa là: \[ -\frac{b}{2a} = 2 \] Từ đây, ta có thể suy ra: \[ b = -4a \] Bây giờ, ta sẽ sử dụng thông tin về tọa độ đỉnh để xác định giá trị của \( f(2) \). Ta thay \( x = 2 \) vào phương trình \( y = ax^2 + bx + c \): \[ f(2) = a(2)^2 + b(2) + c \] \[ f(2) = 4a + 2b + c \] Vì tọa độ đỉnh là \( (2, f(2)) \), ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng: \[ f(2) = 4a + 2(-4a) + c \] \[ f(2) = 4a - 8a + c \] \[ f(2) = -4a + c \] Do đó, tọa độ đỉnh của parabol là \( (2, -4a + c) \). Như vậy, tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là \( (2, -4a + c) \).