Giải cho tôi

Câu 13. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Tìm đạo hàm của \( F(x) \) Theo đề bài, \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x - 3\cos x \). Do đó, đạo hàm của \( F(x) \) sẽ là: \[ F'(x) = f(x) = 2x - 3\cos x \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( f(x) \) Nguyên hàm của \( f(x) = 2x - 3\cos x \) là: \[ \int f(x) \, dx = \int (2x - 3\cos x) \, dx \] \[ = \int 2x \, dx - \int 3\cos x \, dx \] \[ = x^2 - 3\sin x + C \] Bước 3: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \) Ta có: \[ F(x) = x^2 - 3\sin x + C \] Áp dụng điều kiện \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \): \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 - 3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 3 \] \[ \frac{\pi^2}{4} - 3 \cdot 1 + C = 3 \] \[ \frac{\pi^2}{4} - 3 + C = 3 \] \[ C = 3 + 3 - \frac{\pi^2}{4} \] \[ C = 6 - \frac{\pi^2}{4} \] Do đó, \( F(x) \) là: \[ F(x) = x^2 - 3\sin x + 6 - \frac{\pi^2}{4} \] Bước 4: Kiểm tra các đáp án a) Đạo hàm của \( F(x) \) đúng là: \[ F'(x) = 2x - 3\cos x \] b) Nguyên hàm của \( f(x) \) đúng là: \[ \int f(x) \, dx = x^2 - 3\sin x + C \] c) \( F(x) \) đúng là: \[ F(x) = x^2 - 3\sin x + 6 - \frac{\pi^2}{4} \] d) \( F(0) \) đúng là: \[ F(0) = 0^2 - 3\sin(0) + 6 - \frac{\pi^2}{4} = 6 - \frac{\pi^2}{4} \] Vậy, tất cả các đáp án đều đúng. Câu 14. a) Quãng đường tàu A và tàu B di chuyển được sau t (giờ) lần lượt là: \[ S_A = 12t \text{ (km)} \] \[ S_B = 8t \text{ (km)} \] b) Khoảng cách giữa hai tàu được xác định bởi công thức: \[ S = \sqrt{(12 - S_A)^2 + S_B^2} \] Thay \( S_A = 12t \) và \( S_B = 8t \): \[ S = \sqrt{(12 - 12t)^2 + (8t)^2} \] \[ S = \sqrt{(12(1 - t))^2 + (8t)^2} \] \[ S = \sqrt{144(1 - t)^2 + 64t^2} \] \[ S = \sqrt{144(1 - 2t + t^2) + 64t^2} \] \[ S = \sqrt{144 - 288t + 144t^2 + 64t^2} \] \[ S = \sqrt{144 - 288t + 208t^2} \] c) Lúc 13 giờ, tức là sau 1 giờ, khoảng cách giữa hai tàu là: \[ S = \sqrt{144 - 288 \cdot 1 + 208 \cdot 1^2} \] \[ S = \sqrt{144 - 288 + 208} \] \[ S = \sqrt{64} \] \[ S = 8 \text{ (km)} \] d) Tốc độ thay đổi khoảng cách giữa hai tàu được tính bằng đạo hàm của \( S \) theo thời gian \( t \): \[ S = \sqrt{144 - 288t + 208t^2} \] \[ \frac{dS}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{144 - 288t + 208t^2}} \cdot (-288 + 416t) \] Lúc 13 giờ, tức là sau 1 giờ: \[ \frac{dS}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{64}} \cdot (-288 + 416 \cdot 1) \] \[ \frac{dS}{dt} = \frac{1}{2 \cdot 8} \cdot (-288 + 416) \] \[ \frac{dS}{dt} = \frac{1}{16} \cdot 128 \] \[ \frac{dS}{dt} = 8 \text{ (km/h)} \] Đáp số: a) \( S_A = 12t \text{ (km)}, S_B = 8t \text{ (km)} \) b) \( S = \sqrt{144 - 288t + 208t^2} \) c) Khoảng cách lúc 13 giờ: \( 8 \text{ (km)} \) d) Tốc độ thay đổi khoảng cách lúc 13 giờ: \( 8 \text{ (km/h)} \) Câu 15. a) Xác suất để A không phát hiện ra tờ tiền đó giả là 0,3. b) Xác suất để hai người này đều không phát hiện đây là tờ tiền giả là: \[ P(\text{A không phát hiện}) \times P(\text{B không phát hiện | A không phát hiện}) = 0,3 \times 0,4 = 0,12 \] c) Xác suất để ít nhất một trong hai người này phát hiện ra tờ tiền đó là giả là: \[ 1 - P(\text{Cả hai người đều không phát hiện}) = 1 - 0,12 = 0,88 \] d) Biết tờ tiền đó đã bị ít nhất một trong hai người này phát hiện là giả, xác suất để A phát hiện ra nó giả là: \[ P(A \mid \text{ít nhất một người phát hiện}) = \frac{P(A \text{ phát hiện})}{P(\text{ít nhất một người phát hiện})} \] \[ P(A \text{ phát hiện}) = 0,7 \] \[ P(\text{ít nhất một người phát hiện}) = 0,88 \] \[ P(A \mid \text{ít nhất một người phát hiện}) = \frac{0,7}{0,88} \approx 0,795 \] Đáp số: a) 0,3 b) 0,12 c) 0,88 d) 79,5%