giải ngắn gọn Câu 1. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua điểm $M(2;1;-3)$ co tam .,$I(0;2;-1).$,Câu 2. Trong không gian Oxyz . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm,$M(2;-1;0)$ và chứa đường thẳng $d:\frac{x+1}2=\frac y3=\frac{z-5}{-1}.$,Câu 3. Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó muốn tăng,giá cho thuê của mỗi gian hàng thêm x (triệu đồng) $(x\geq0).$ Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng,đó được biểu diễn bởi hàm số $T^\prime(x)=-20x+300,$ trong đó $T^\prime(x)$ tính bằng triệu đồng (Nguồn: R.Larson,anh B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Biết rằng nếu người đó tăng giá thuê cho mỗi gian hàng thêm 10,triệu đồng thì doanh thu là 12 tỷ đồng. Tính doanh thu cao nhất (đơn vị tỷ đồng) của tất cả gian hàng mà,người đó có thể thu về?

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Phương trình mặt cầu có tâm $ I(0;2;-1) $ và bán kính $ R $ có dạng:
$$ (x - 0)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = R^2 $$

Để xác định bán kính $ R $, ta sử dụng thông tin rằng mặt cầu đi qua điểm $ M(2;1;-3) $. Thay tọa độ của điểm $ M $ vào phương trình mặt cầu, ta có:
$$ (2 - 0)^2 + (1 - 2)^2 + (-3 + 1)^2 = R^2 $$
$$ 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = R^2 $$
$$ 4 + 1 + 4 = R^2 $$
$$ 9 = R^2 $$
$$ R = 3 $$

Vậy phương trình mặt cầu là:
$$ x^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 9 $$

Đáp số: $ x^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 9 $

Câu 2.
Để viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2;-1;0)$ và chứa đường thẳng $d$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$:
   - Đường thẳng $d$ có phương vector $\vec{u} = (2, 3, -1)$.
   - Mặt phẳng $(P)$ chứa điểm $M(2, -1, 0)$ và đường thẳng $d$. Do đó, mặt phẳng $(P)$ cũng chứa điểm $A(-1, 0, 5)$ (điểm thuộc đường thẳng $d$).

2. Tìm vectơ $\vec{AM}$:
   - Vectơ $\vec{AM}$ từ điểm $A$ đến điểm $M$ là:
     $$
     \vec{AM} = M - A = (2 - (-1), -1 - 0, 0 - 5) = (3, -1, -5)
     $$

3. Tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng $(P)$:
   - Vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng $(P)$ là tích có hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{AM}$:
     $$
     \vec{n} = \vec{u} \times \vec{AM}
     $$
   - Tính tích có hướng:
     $$
     \vec{n} = \begin{vmatrix}
     \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
     2 & 3 & -1 \
     3 & -1 & -5
     \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot (-5) - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j}(2 \cdot (-5) - (-1) \cdot 3) + \vec{k}(2 \cdot (-1) - 3 \cdot 3)
     $$
     $$
     \vec{n} = \vec{i}(-15 - 1) - \vec{j}(-10 + 3) + \vec{k}(-2 - 9) = \vec{i}(-16) - \vec{j}(-7) + \vec{k}(-11)
     $$
     $$
     \vec{n} = (-16, 7, -11)
     $$

4. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$:
   - Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ có dạng:
     $$
     ax + by + cz + d = 0
     $$
   - Thay tọa độ của điểm $M(2, -1, 0)$ vào phương trình và sử dụng vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-16, 7, -11)$:
     $$
     -16x + 7y - 11z + d = 0
     $$
     $$
     -16(2) + 7(-1) - 11(0) + d = 0
     $$
     $$
     -32 - 7 + d = 0
     $$
     $$
     d = 39
     $$

5. Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$:
   $$
   -16x + 7y - 11z + 39 = 0
   $$

Đáp số: Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ là:
$$
-16x + 7y - 11z + 39 = 0
$$

Câu 3.
Để tìm doanh thu cao nhất của tất cả các gian hàng, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm hàm doanh thu $ T(x) $:
   - Biết rằng tốc độ thay đổi doanh thu $ T'(x) = -20x + 300 $.
   - Doanh thu $ T(x) $ là nguyên hàm của $ T'(x) $:
     $$
     T(x) = \int (-20x + 300) \, dx = -10x^2 + 300x + C
     $$
   - Biết rằng khi $ x = 10 $, doanh thu $ T(10) = 12000 $ triệu đồng (vì 12 tỷ đồng = 12000 triệu đồng).

2. Xác định hằng số $ C $:
   - Thay $ x = 10 $ vào $ T(x) $:
     $$
     T(10) = -10(10)^2 + 300(10) + C = 12000
     $$
     $$
     -1000 + 3000 + C = 12000
     $$
     $$
     2000 + C = 12000
     $$
     $$
     C = 10000
     $$

Vậy hàm doanh thu là:
   $$
   T(x) = -10x^2 + 300x + 10000
   $$

3. Tìm giá trị $ x $ để doanh thu đạt cực đại:
   - Để tìm giá trị $ x $ làm cho doanh thu đạt cực đại, ta tìm đạo hàm của $ T(x) $ và đặt nó bằng 0:
     $$
     T'(x) = -20x + 300
     $$
     $$
     -20x + 300 = 0
     $$
     $$
     20x = 300
     $$
     $$
     x = 15
     $$

4. Tính doanh thu cực đại:
   - Thay $ x = 15 $ vào $ T(x) $:
     $$
     T(15) = -10(15)^2 + 300(15) + 10000
     $$
     $$
     T(15) = -10(225) + 4500 + 10000
     $$
     $$
     T(15) = -2250 + 4500 + 10000
     $$
     $$
     T(15) = 12250 \text{ triệu đồng}
     $$

Doanh thu cao nhất của tất cả các gian hàng mà người chủ có thể thu về là 12250 triệu đồng, tương đương 12,25 tỷ đồng.

Đáp số: 12,25 tỷ đồng.