Giải hộ mình ạ b) Phương trình $2^{x-1}=(\frac1{32})^x$ có nghiệm nhỏ hơn 1.,c) Phương trình $25^{x+1}+4.5^x-29=0$ có 2 nghiệm.,d) Có 3 giá trị nguyên của tham số m để phương trình $4^{x^2-2x}=m-1$ có nghiệm thuộc đoạn $[0;2].$

Question

Accepted Answer

b) Phương trình $2^{x-1}=(\frac{1}{32})^x$ có nghiệm nhỏ hơn 1.

Đầu tiên, ta viết lại phương trình dưới dạng cùng cơ số:
$$ 2^{x-1} = (2^{-5})^x $$
$$ 2^{x-1} = 2^{-5x} $$

Bằng cách so sánh các mũ, ta có:
$$ x - 1 = -5x $$
$$ x + 5x = 1 $$
$$ 6x = 1 $$
$$ x = \frac{1}{6} $$

Vậy phương trình có nghiệm $ x = \frac{1}{6} $, nhỏ hơn 1.

c) Phương trình $25^{x+1} + 4 \cdot 5^x - 29 = 0$ có 2 nghiệm.

Đầu tiên, ta viết lại phương trình dưới dạng cùng cơ số:
$$ (5^2)^{x+1} + 4 \cdot 5^x - 29 = 0 $$
$$ 5^{2x+2} + 4 \cdot 5^x - 29 = 0 $$

Đặt $ y = 5^x $, ta có:
$$ y^2 \cdot 5^2 + 4y - 29 = 0 $$
$$ 25y^2 + 4y - 29 = 0 $$

Ta giải phương trình bậc hai này:
$$ y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-29)}}{2 \cdot 25} $$
$$ y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 2900}}{50} $$
$$ y = \frac{-4 \pm \sqrt{2916}}{50} $$
$$ y = \frac{-4 \pm 54}{50} $$

Từ đó, ta có hai nghiệm:
$$ y_1 = \frac{50}{50} = 1 $$
$$ y_2 = \frac{-58}{50} = -\frac{29}{25} $$

Do $ y = 5^x > 0 $, ta loại nghiệm $ y_2 = -\frac{29}{25} $.

Vậy ta có:
$$ 5^x = 1 $$
$$ x = 0 $$

Phương trình có nghiệm duy nhất $ x = 0 $.

d) Có 3 giá trị nguyên của tham số m để phương trình $4^{x^2-2x} = m-1$ có nghiệm thuộc đoạn $[0;2]$.

Đầu tiên, ta viết lại phương trình dưới dạng cùng cơ số:
$$ (2^2)^{x^2-2x} = m-1 $$
$$ 2^{2(x^2-2x)} = m-1 $$

Xét hàm số $ f(x) = 2(x^2 - 2x) $:
$$ f(x) = 2(x^2 - 2x) = 2((x-1)^2 - 1) = 2(x-1)^2 - 2 $$

Trên đoạn $[0;2]$, ta có:
$$ f(0) = 2(0-1)^2 - 2 = 0 $$
$$ f(1) = 2(1-1)^2 - 2 = -2 $$
$$ f(2) = 2(2-1)^2 - 2 = 0 $$

Vậy giá trị của $ f(x) $ trên đoạn $[0;2]$ nằm trong khoảng $[-2, 0]$.

Do đó, $ 2^{f(x)} $ nằm trong khoảng $[2^{-2}, 2^0] = [\frac{1}{4}, 1]$.

Vậy $ m-1 $ phải nằm trong khoảng $[\frac{1}{4}, 1]$, tức là:
$$ \frac{1}{4} \leq m-1 \leq 1 $$
$$ \frac{5}{4} \leq m \leq 2 $$

Các giá trị nguyên của $ m $ là 1 và 2.

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số $ m $ là 1 và 2.