Câu 29 nhé. Câu 29. Cấp số nhân $(a_n)$ thỏa mãn,$\sum^\infty_{n=1}(|a_n|+a_n)=\frac{40}3,~\sum^\infty_{n=1}(|a_n|-a_n)=\frac{20}3.$,Tìm tổng của tất cả các số tự nhiên m thỏa mãn,$\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum^{2n}_{k=1}(-1)^{\frac{k(k+1)}2}.a_{m+k}\frac1{700}.$

Question

Câu 29 nhé. Câu 29. Cấp số nhân $(a_n)$ thỏa mãn,$\sum^\infty_{n=1}(|a_n|+a_n)=\frac{40}3,~\sum^\infty_{n=1}(|a_n|-a_n)=\frac{20}3.$,Tìm tổng của tất cả các số tự nhiên m thỏa mãn,$\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum^{2n}_{k=1}(-1)^{\frac{k(k+1)}2}.a_{m+k}>\frac1{700}.$

Accepted Answer

Câu 29:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = x + y $ với điều kiện $ x^2 + y^2 = 1 $.

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Điều kiện xác định của bài toán này là $ x^2 + y^2 = 1 $. Đây là phương trình đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng 1.

Bước 2: Biểu diễn $ y $ theo $ x $
- Từ điều kiện $ x^2 + y^2 = 1 $, ta có $ y^2 = 1 - x^2 $.
- Do đó, $ y = \pm \sqrt{1 - x^2} $.

Bước 3: Biểu diễn $ P $ theo $ x $
- Ta có $ P = x + y $.
- Thay $ y = \sqrt{1 - x^2} $ vào $ P $, ta được $ P_1 = x + \sqrt{1 - x^2} $.
- Thay $ y = -\sqrt{1 - x^2} $ vào $ P $, ta được $ P_2 = x - \sqrt{1 - x^2} $.

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $ P_1 $ và $ P_2 $
- Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $ P_1 $ và $ P_2 $, ta sẽ sử dụng đạo hàm.

Bước 5: Tính đạo hàm của $ P_1 $ và $ P_2 $
- Đạo hàm của $ P_1 = x + \sqrt{1 - x^2} $:
  $$
  P_1' = 1 + \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}
  $$
  Đặt $ P_1' = 0 $:
  $$
  1 + \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \implies \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = 1 \implies x = \sqrt{1 - x^2}
  $$
  Giải phương trình trên:
  $$
  x^2 = 1 - x^2 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
  $$
  Thay $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ vào $ P_1 $:
  $$
  P_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
  $$
  Thay $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ vào $ P_1 $:
  $$
  P_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0
  $$

- Đạo hàm của $ P_2 = x - \sqrt{1 - x^2} $:
  $$
  P_2' = 1 - \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
  $$
  Đặt $ P_2' = 0 $:
  $$
  1 + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \implies \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = -1 \implies x = -\sqrt{1 - x^2}
  $$
  Giải phương trình trên:
  $$
  x^2 = 1 - x^2 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
  $$
  Thay $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ vào $ P_2 $:
  $$
  P_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0
  $$
  Thay $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ vào $ P_2 $:
  $$
  P_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}
  $$

Bước 6: Kết luận
- Giá trị lớn nhất của $ P $ là $ \sqrt{2} $, đạt được khi $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ và $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
- Giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ -\sqrt{2} $, đạt được khi $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ và $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất của $ P $ là $ \sqrt{2} $, đạt được khi $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ và $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $; Giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ -\sqrt{2} $, đạt được khi $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ và $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Câu 29:
Ta có:
$$\sum^\infty_{n=1}(|a_n|+a_n)=\frac{40}3,~\sum^\infty_{n=1}(|a_n|-a_n)=\frac{20}3.$$
Suy ra:
$$\sum^\infty_{n=1}|a_n|=20,~\sum^\infty_{n=1}a_n=\frac{20}3.$$
Do đó, ta có:
Từ đây suy ra:
Vậy ta có:

Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.