làm câu 6 giúp mình á kĩ từng bước á (có giải thichs sóa sao làm vậy càng tốt

Bài 2: Đáp án chi tiết trong từng trường hợp: a) \( y = \sqrt{3} \) Đây là một hằng số, do đó giá trị của nó không thay đổi. Vì vậy, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( y \) đều là \( \sqrt{3} \). Giá trị lớn nhất của \( y \) là \( \sqrt{3} \), đạt được tại mọi điểm. Giá trị nhỏ nhất của \( y \) là \( \sqrt{3} \), đạt được tại mọi điểm. e) \( y = \sqrt[3]{3x^2 - x^3} \) Trước tiên, ta cần tìm miền xác định của hàm số này. Hàm số \( y = \sqrt[3]{3x^2 - x^3} \) xác định khi biểu thức bên trong căn bậc ba xác định, tức là \( 3x^2 - x^3 \geq 0 \). Ta có: \[ 3x^2 - x^3 \geq 0 \] \[ x^2(3 - x) \geq 0 \] Biểu thức này không âm khi \( x \leq 3 \). Do đó, miền xác định của hàm số là \( (-\infty, 3] \). Tiếp theo, ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định này. Xét đạo hàm của \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt[3]{3x^2 - x^3} \right) \] \[ y' = \frac{1}{3} (3x^2 - x^3)^{-\frac{2}{3}} \cdot (6x - 3x^2) \] \[ y' = \frac{1}{3} (3x^2 - x^3)^{-\frac{2}{3}} \cdot 3x(2 - x) \] \[ y' = \frac{x(2 - x)}{(3x^2 - x^3)^{\frac{2}{3}}} \] Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{x(2 - x)}{(3x^2 - x^3)^{\frac{2}{3}}} = 0 \] \[ x(2 - x) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Kiểm tra giá trị của \( y \) tại các điểm này: \[ y(0) = \sqrt[3]{3(0)^2 - (0)^3} = \sqrt[3]{0} = 0 \] \[ y(2) = \sqrt[3]{3(2)^2 - (2)^3} = \sqrt[3]{12 - 8} = \sqrt[3]{4} \] Do đó, giá trị lớn nhất của \( y \) là \( \sqrt[3]{4} \), đạt được khi \( x = 2 \). Giá trị nhỏ nhất của \( y \) là \( 0 \), đạt được khi \( x = 0 \). D) \( y = \frac{2}{2^x - 1} \) Trước tiên, ta cần tìm miền xác định của hàm số này. Hàm số \( y = \frac{2}{2^x - 1} \) xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( 2^x - 1 \neq 0 \). Ta có: \[ 2^x - 1 \neq 0 \] \[ 2^x \neq 1 \] \[ x \neq 0 \] Do đó, miền xác định của hàm số là \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \). Tiếp theo, ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định này. Xét đạo hàm của \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{2^x - 1} \right) \] \[ y' = \frac{-2 \cdot 2^x \ln 2}{(2^x - 1)^2} \] Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{-2 \cdot 2^x \ln 2}{(2^x - 1)^2} = 0 \] \[ -2 \cdot 2^x \ln 2 = 0 \] \[ 2^x \ln 2 = 0 \] Do \( 2^x \) và \( \ln 2 \) đều khác 0, nên không có nghiệm nào của \( y' = 0 \). Do đó, hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miền xác định của nó. Tóm lại, hàm số \( y = \frac{2}{2^x - 1} \) không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miền xác định của nó. Bài 3: Đáp án chi tiết cho từng phần: a) \( y = \frac{x^2 + (3m+2)x + 2m - 1}{x^2 + mx - n - 1} \) Để đồ thị của hàm số có đúng hai tiệm cận đứng, mẫu số phải có hai nghiệm thực phân biệt và không trùng với tử số. Mẫu số: \( x^2 + mx - n - 1 = 0 \) - Điều kiện để phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt: \[ \Delta = m^2 + 4(n + 1) > 0 \] Tử số: \( x^2 + (3m+2)x + 2m - 1 = 0 \) - Điều kiện để tử số không trùng với mẫu số: \[ x^2 + (3m+2)x + 2m - 1 \neq x^2 + mx - n - 1 \] \[ (3m+2)x + 2m - 1 \neq mx - n - 1 \] \[ (3m+2 - m)x + (2m - 1 + n + 1) \neq 0 \] \[ (2m+2)x + (2m + n) \neq 0 \] \[ (m+1)x + (m + \frac{n}{2}) \neq 0 \] Do đó, \( m \neq -1 \). Kết luận: \[ m \neq -1 \quad \text{và} \quad m^2 + 4(n + 1) > 0 \] b) \( y = \frac{2 + x^2}{3x^2 + 2(m+1)x + 4} \) Mẫu số: \( 3x^2 + 2(m+1)x + 4 = 0 \) - Điều kiện để phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt: \[ \Delta = 4(m+1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 > 0 \] \[ 4(m^2 + 2m + 1) - 48 > 0 \] \[ 4m^2 + 8m + 4 - 48 > 0 \] \[ 4m^2 + 8m - 44 > 0 \] \[ m^2 + 2m - 11 > 0 \] Kết luận: \[ m^2 + 2m - 11 > 0 \] c) \( y = \frac{x + 3}{x^2 + x + m - 2} \) Mẫu số: \( x^2 + x + m - 2 = 0 \) - Điều kiện để phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt: \[ \Delta = 1 - 4(m - 2) > 0 \] \[ 1 - 4m + 8 > 0 \] \[ 9 - 4m > 0 \] \[ m < \frac{9}{4} \] Kết luận: \[ m < \frac{9}{4} \] d) \( y = \frac{x - 3}{x^2 + 2(m+2)x + m^2 + 1} \) Mẫu số: \( x^2 + 2(m+2)x + m^2 + 1 = 0 \) - Điều kiện để phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt: \[ \Delta = 4(m+2)^2 - 4(m^2 + 1) > 0 \] \[ 4(m^2 + 4m + 4) - 4m^2 - 4 > 0 \] \[ 4m^2 + 16m + 16 - 4m^2 - 4 > 0 \] \[ 16m + 12 > 0 \] \[ m > -\frac{3}{4} \] Kết luận: \[ m > -\frac{3}{4} \] e) \( y = \frac{x - t}{x^2 + 2(m-1)x + m^2 - 2} \) Mẫu số: \( x^2 + 2(m-1)x + m^2 - 2 = 0 \) - Điều kiện để phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt: \[ \Delta = 4(m-1)^2 - 4(m^2 - 2) > 0 \] \[ 4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2 + 8 > 0 \] \[ 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 8 > 0 \] \[ -8m + 12 > 0 \] \[ m < \frac{3}{2} \] Kết luận: \[ m < \frac{3}{2} \] D. \( y = \frac{3}{2x^2 + 2mx + m - 1} \) Mẫu số: \( 2x^2 + 2mx + m - 1 = 0 \) - Điều kiện để phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt: \[ \Delta = 4m^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m - 1) > 0 \] \[ 4m^2 - 8m + 8 > 0 \] \[ m^2 - 2m + 2 > 0 \] Kết luận: \[ m^2 - 2m + 2 > 0 \] Bài 4: Để đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{x^2 + mx + m} \) có 3 đường tiệm cận, chúng ta cần kiểm tra các điều kiện liên quan đến mẫu số và tử số của hàm số này. 1. Tiệm cận đứng: Đồ thị hàm số sẽ có tiệm cận đứng nếu mẫu số bằng 0 và tử số khác 0 tại các điểm đó. Do đó, phương trình \( x^2 + mx + m = 0 \) phải có hai nghiệm thực phân biệt. Điều kiện để phương trình \( x^2 + mx + m = 0 \) có hai nghiệm thực phân biệt là: \[ \Delta > 0 \] Trong đó, \( \Delta \) là biệt thức của phương trình bậc hai: \[ \Delta = m^2 - 4m \] Ta có: \[ m^2 - 4m > 0 \] Giải bất phương trình này: \[ m(m - 4) > 0 \] Bất phương trình này đúng khi: \[ m < 0 \quad \text{hoặc} \quad m > 4 \] 2. Tiệm cận ngang: Đồ thị hàm số sẽ có tiệm cận ngang nếu giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \) tồn tại. Ta xét: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-2}{x^2 + mx + m} \] Vì bậc của tử số (1) nhỏ hơn bậc của mẫu số (2), nên: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-2}{x^2 + mx + m} = 0 \] Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \( y = 0 \). 3. Tiệm cận xiên: Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên vì bậc của tử số (1) nhỏ hơn bậc của mẫu số (2). Tóm lại, để đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{x^2 + mx + m} \) có 3 đường tiệm cận, điều kiện cần thỏa mãn là: \[ m < 0 \quad \text{hoặc} \quad m > 4 \] Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{m < 0 \text{ hoặc } m > 4} \] Bài 5: Để giải bài toán này, ta cần tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho đồ thị của hàm số \(y = \frac{ax+1}{bx-2}\) có \(x = 1\) là tiệm cận đứng và \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang. Bước 1: Tìm điều kiện để \(x = 1\) là tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số của phân thức bằng 0, tức là: \[ bx - 2 = 0 \] Giải phương trình này, ta có: \[ bx = 2 \] \[ x = \frac{2}{b} \] Để \(x = 1\) là tiệm cận đứng, ta cần: \[ \frac{2}{b} = 1 \] Giải phương trình này, ta được: \[ 2 = b \] Bước 2: Tìm điều kiện để \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang Tiệm cận ngang của hàm số dạng phân thức \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) khi bậc của tử số và mẫu số bằng nhau là tỉ số của các hệ số cao nhất. Ở đây, bậc của tử số và mẫu số đều là 1, do đó tiệm cận ngang là: \[ y = \frac{a}{b} \] Để \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang, ta cần: \[ \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \] Thay \(b = 2\) vào, ta có: \[ \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \] Giải phương trình này, ta được: \[ a = 1 \] Kết luận Vậy, để đồ thị của hàm số \(y = \frac{ax+1}{bx-2}\) có \(x = 1\) là tiệm cận đứng và \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang, ta cần \(a = 1\) và \(b = 2\). Bài 6: Để giải bài toán này, ta cần tìm điều kiện để hàm số có tiệm cận đứng. Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0. Hàm số đã cho là \( y = \frac{x-3}{x^2 + mx + 1} \). a) Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng. Để hàm số có đúng một tiệm cận đứng, phương trình \( x^2 + mx + 1 = 0 \) phải có đúng một nghiệm thực. Điều này xảy ra khi phương trình có nghiệm kép, tức là: \[ \Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0 \] Giải phương trình trên, ta có: \[ m^2 = 4 \implies m = \pm 2 \] Vậy, để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng, \( m = 2 \) hoặc \( m = -2 \). b) Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng \( x = x_1 \) và \( x = x_2 \), sao cho \(\frac{x_1^2}{x_2^2} + \frac{x_2^2}{x_1^2} > 7\). Để hàm số có hai tiệm cận đứng, phương trình \( x^2 + mx + 1 = 0 \) phải có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi: \[ \Delta = m^2 - 4 > 0 \] Giải bất phương trình trên, ta có: \[ m^2 > 4 \implies m > 2 \text{ hoặc } m < -2 \] Giả sử hai nghiệm của phương trình là \( x_1 \) và \( x_2 \). Theo định lý Vi-ét, ta có: \[ x_1 + x_2 = -m, \quad x_1 x_2 = 1 \] Ta cần điều kiện: \[ \frac{x_1^2}{x_2^2} + \frac{x_2^2}{x_1^2} > 7 \] Biến đổi điều kiện trên, ta có: \[ \left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2 + \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2 > 7 \] Đặt \( t = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \), ta có: \[ t^2 = \left(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\right)^2 = \frac{x_1^2}{x_2^2} + \frac{x_2^2}{x_1^2} + 2 > 9 \] Do đó, \( t^2 > 9 \) suy ra \( t > 3 \) hoặc \( t < -3 \). Từ \( x_1 + x_2 = -m \) và \( x_1 x_2 = 1 \), ta có: \[ t = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2} = \frac{m^2 - 2}{1} = m^2 - 2 \] Điều kiện \( t > 3 \) hoặc \( t < -3 \) tương đương với: 1. \( m^2 - 2 > 3 \) hay \( m^2 > 5 \) 2. \( m^2 - 2 < -3 \) hay \( m^2 < -1 \) (vô lý) Vậy chỉ có điều kiện \( m^2 > 5 \) là hợp lý. Do đó, \( m > \sqrt{5} \) hoặc \( m < -\sqrt{5} \). Kết hợp với điều kiện \( m > 2 \) hoặc \( m < -2 \), ta có: - \( m > \sqrt{5} \) hoặc \( m < -\sqrt{5} \). Vậy, để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng và thỏa mãn điều kiện đã cho, \( m > \sqrt{5} \) hoặc \( m < -\sqrt{5} \). Bài 7: Để đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{\sqrt{(m-1)x^2+1}} \) có 2 đường tiệm cận ngang, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho giới hạn của \( y \) khi \( x \to \pm\infty \) tồn tại và khác nhau. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phân thức \( \frac{x-2}{\sqrt{(m-1)x^2+1}} \) có nghĩa khi mẫu số khác 0: \[ (m-1)x^2 + 1 > 0 \] \[ (m-1)x^2 > -1 \] Bước 2: Tìm giới hạn của \( y \) khi \( x \to \pm\infty \) Ta xét giới hạn của \( y \) khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x-2}{\sqrt{(m-1)x^2+1}} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x-2}{x}}{\sqrt{\frac{(m-1)x^2+1}{x^2}}} \] \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{(m-1) + \frac{1}{x^2}}} \] \[ = \frac{1 - 0}{\sqrt{(m-1) + 0}} \] \[ = \frac{1}{\sqrt{m-1}} \] Tương tự, ta xét giới hạn của \( y \) khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x-2}{\sqrt{(m-1)x^2+1}} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x-2}{x}}{\sqrt{\frac{(m-1)x^2+1}{x^2}}} \] \[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{(m-1) + \frac{1}{x^2}}} \] \[ = \frac{1 - 0}{\sqrt{(m-1) + 0}} \] \[ = \frac{1}{\sqrt{m-1}} \] Bước 3: Đặt điều kiện để có 2 đường tiệm cận ngang Để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang, giới hạn của \( y \) khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \) phải khác nhau. Điều này xảy ra khi \( \sqrt{m-1} \) khác 0 và \( m-1 \) khác 0. Do đó, ta có: \[ m-1 > 0 \] \[ m > 1 \] Vậy, giá trị của \( m \) để đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{\sqrt{(m-1)x^2+1}} \) có 2 đường tiệm cận ngang là \( m > 1 \).