Tính giá trị p + q. Câu 29. Đường hypebol $x^2-\frac{y^2}{35}=1$ có hai tiêu điểm,$F(c;0),~F^\prime(-c;0)~(c0).$ Điểm P thuộc đường hypebol này,và thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ. Điểm Q thuộc,đường thẳng PF' sao cho $PQ=PF$ và $PF^\prime

Question

Tính giá trị p + q. Câu 29. Đường hypebol $x^2-\frac{y^2}{35}=1$ có hai tiêu điểm,$F(c;0),~F^\prime(-c;0)~(c>0).$ Điểm P thuộc đường hypebol này,và thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ. Điểm Q thuộc,đường thẳng PF' sao cho $PQ=PF$ và $PF^\prime

Accepted Answer

Câu 29:
Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông số của hypebol:

Phương trình hypebol là $x^2 - \frac{y^2}{35} = 1$.

- Hypebol có dạng $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ với $a^2 = 1$ và $b^2 = 35$.
   - Tiêu điểm $c$ được tính bằng công thức $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 35} = \sqrt{36} = 6$.
   - Vậy hai tiêu điểm là $F(6, 0)$ và $F'(-6, 0)$.

2. Xác định điểm P:

Điểm $P$ thuộc hypebol và góc phần tư thứ nhất, nên có tọa độ $(x_0, y_0)$ thỏa mãn $x_0 > 1$ và $y_0 > 0$.

3. Xác định điểm Q:

Điểm $Q$ thuộc đường thẳng $PF'$ sao cho $PQ = PF$ và $PF' < QF'$.

4. Đồng dạng tam giác:

Tam giác $QF'F$ đồng dạng với tam giác $FF'P$, do đó:

$$
   \frac{QF'}{FF'} = \frac{FF'}{FP}
   $$

Suy ra $QF' \cdot FP = FF'^2$.

5. Tính diện tích tam giác $PFQ$:

Diện tích tam giác $PFQ$ được tính bằng công thức:

$$
   S = \frac{1}{2} \cdot PF \cdot PQ \cdot \sin \angle FPQ
   $$

Do $PQ = PF$, nên diện tích:

$$
   S = \frac{1}{2} \cdot PF^2 \cdot \sin \angle FPQ
   $$

Với $\angle FPQ = 90^\circ$, ta có $\sin \angle FPQ = 1$.

Vậy diện tích:

$$
   S = \frac{1}{2} \cdot PF^2
   $$

6. Tính toán cụ thể:

- $PF = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.
   - Diện tích $S = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2$.

Diện tích tam giác $PFQ$ là $\frac{2\sqrt{5}}{1}$.

7. Kết luận:

Với $p = 2$ và $q = 1$, ta có $p + q = 3$.

Vậy giá trị của $p + q$ là $3$.