Câu 7 nhé.

Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ với điều kiện $$. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Điều kiện xác định của $$ và $$ là $$. Vì đây là phương trình đường tròn đơn vị, nên $$ và $$ nằm trong khoảng từ -1 đến 1. Bước 2: Biến đổi biểu thức $$ - Ta có $$. Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz - Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy số $$ và $$ là: $$ $$ $$ Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $$ - Từ bất đẳng thức trên, ta có: $$ - Do đó, giá trị lớn nhất của $$ là $$ và giá trị nhỏ nhất của $$ là $$. Bước 5: Kiểm tra các trường hợp đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất - Giá trị lớn nhất $$ đạt được khi $$. - Giá trị nhỏ nhất $$ đạt được khi $$. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của $$ là $$, đạt được khi $$. - Giá trị nhỏ nhất của $$ là $$, đạt được khi $$. Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tổ hợp và phân tích từng trường hợp cụ thể. Trước tiên, chúng ta cần lưu ý rằng mỗi phòng phải có ít nhất một người. Do đó, chúng ta sẽ chia 5 người thành 4 nhóm, mỗi nhóm có ít nhất một người, và sau đó phân bố các nhóm này vào 4 phòng. Bước 1: Chia 5 người thành 4 nhóm, mỗi nhóm có ít nhất một người. - Có 4 cách để chọn 1 người làm trưởng nhóm (nhóm đầu tiên). - Sau khi chọn trưởng nhóm, còn lại 4 người, chúng ta sẽ chia họ thành 3 nhóm, mỗi nhóm có ít nhất một người. - Tiếp tục quá trình này, chúng ta sẽ có: - 4 cách để chọn trưởng nhóm đầu tiên. - 3 cách để chọn trưởng nhóm thứ hai từ 4 người còn lại. - 2 cách để chọn trưởng nhóm thứ ba từ 3 người còn lại. - 1 cách để chọn trưởng nhóm thứ tư từ 2 người còn lại. Tuy nhiên, vì các phòng giống hệt nhau, chúng ta cần loại bỏ các trường hợp trùng lặp do việc hoán đổi vị trí của các nhóm. Bước 2: Loại bỏ các trường hợp trùng lặp. - Tổng số cách chia ban đầu là $$. - Vì các phòng giống hệt nhau, chúng ta cần chia tổng số cách chia cho số cách hoán đổi vị trí của các phòng, tức là $$. Do đó, số cách phân 5 người vào 4 phòng giống hệt nhau, mỗi phòng có ít nhất một người là: $$ Vậy, có 1 cách để phân 5 người vào 4 phòng giống hệt nhau, biết rằng một phòng không có thể không có ai. Đáp án: 1 cách.