Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Xác định hội tụ hay phân kỳ của chuỗi:,$\sum^\infty_{n=1}\frac{\ln n}{n^2}$

Question

Accepted Answer

Ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn tích phân để xét sự hội tụ của chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{\ln n}{n^2}$.

Xét tích phân suy rộng $\int_1^\infty \frac{\ln x}{x^2} \, dx$.

Đặt $u = \ln x$ và $dv = \frac{1}{x^2} \, dx$. Khi đó, $du = \frac{1}{x} \, dx$ và $v = -\frac{1}{x}$.

Áp dụng phương pháp tích phân từng phần, ta có:
$$
\int_1^\infty \frac{\ln x}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{\ln x}{x} ight]_1^\infty + \int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx.
$$

Xét giới hạn của biểu thức đầu tiên:
$$
\lim_{x 	o \infty} \left( -\frac{\ln x}{x} ight) = 0,
$$
và tại $x = 1$, ta có:
$$
-\frac{\ln 1}{1} = 0.
$$

Do đó:
$$
\left[ -\frac{\ln x}{x} ight]_1^\infty = 0 - 0 = 0.
$$

Tiếp theo, ta tính tích phân còn lại:
$$
\int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} ight]_1^\infty = 0 - (-1) = 1.
$$

Vậy:
$$
\int_1^\infty \frac{\ln x}{x^2} \, dx = 0 + 1 = 1.
$$

Tích phân suy rộng $\int_1^\infty \frac{\ln x}{x^2} \, dx$ hội tụ. Do đó, theo tiêu chuẩn tích phân, chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{\ln n}{n^2}$ cũng hội tụ.