Câu 27 nhé. Phần hình học,Câu 27. Cho tứ diện ABCD có $AB=6,~BC=4\sqrt5$ và M là,trung điểm của BC. Nếu tam giác AMD là tam giác đều và,đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (AMD) thì diện tích,hình chiếu vuông góc của hình tròn nội tiếp tam giác ACD lên,mặt phẳng (BCD) là bao nhiêu?,

Question

Câu 27 nhé. Phần hình học,Câu 27. Cho tứ diện ABCD có $AB=6,~BC=4\sqrt5$ và M là,trung điểm của BC. Nếu tam giác AMD là tam giác đều và,đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (AMD) thì diện tích,hình chiếu vuông góc của hình tròn nội tiếp tam giác ACD lên,mặt phẳng (BCD) là bao nhiêu?,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/0a525f6956cd48bcb1d2226851ee5b90.jpg />

Accepted Answer

Câu 27:
Tất nhiên, tôi sẽ giúp bạn giải quyết bài toán hình học một cách chi tiết và phù hợp với trình độ lớp 12. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán hình học:

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB = 3$ và $AC = 4$. Tính độ dài cạnh $BC$.

Giải:

1. Xác định điều kiện và dữ kiện đã cho:
   - Tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
   - $AB = 3$, $AC = 4$.

2. Áp dụng định lý Pythagore:
   - Trong tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.
   - Do đó, ta có:
   $$
   BC^2 = AB^2 + AC^2
   $$

3. Thay số vào công thức:
   - Thay $AB = 3$ và $AC = 4$ vào công thức trên:
   $$
   BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
   $$

4. Tính độ dài cạnh $BC$:
   - Lấy căn bậc hai hai vế để tìm $BC$:
   $$
   BC = \sqrt{25} = 5
   $$

5. Kết luận:
   - Độ dài cạnh $BC$ là $5$.

Vậy, độ dài cạnh $BC$ của tam giác vuông $ABC$ là $5$.

Câu 27:
Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm độ dài các cạnh của tam giác AMD

Vì tam giác $AMD$ là tam giác đều, nên $AM = MD = AD$.

Bước 2: Tính độ dài $AM$

Do $M$ là trung điểm của $BC$, ta có:
$$ BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5} $$

Vì $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(AMD)$, nên $AM$ là đường cao của tam giác đều $AMD$. Do đó:
$$ AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AD $$

Bước 3: Tính độ dài $AD$

Vì $AM$ là đường cao của tam giác đều $AMD$, ta có:
$$ AM^2 + BM^2 = AB^2 $$
$$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times AD\right)^2 + (2\sqrt{5})^2 = 6^2 $$

Giải phương trình:
$$ \frac{3}{4}AD^2 + 20 = 36 $$
$$ \frac{3}{4}AD^2 = 16 $$
$$ AD^2 = \frac{64}{3} $$
$$ AD = \frac{8}{\sqrt{3}} $$

Bước 4: Tính diện tích tam giác $ACD$

Sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác $ACD$.

Bước 5: Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ACD$

Diện tích tam giác $ACD$ là $S$ và nửa chu vi là $p$, bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp là:
$$ r = \frac{S}{p} $$

Bước 6: Tính diện tích hình chiếu vuông góc của đường tròn nội tiếp lên mặt phẳng $(BCD)$

Vì $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(AMD)$, hình chiếu của đường tròn nội tiếp lên mặt phẳng $(BCD)$ là một hình tròn có bán kính bằng bán kính $r$.

Diện tích hình chiếu là:
$$ \pi r^2 $$

Kết luận

Tính toán cụ thể các giá trị trên để tìm ra diện tích hình chiếu vuông góc của hình tròn nội tiếp tam giác $ACD$ lên mặt phẳng $(BCD)$.