Tính bán kính đường tròn. Câu 26 (3đ). Cho ellipse $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$ có hai tiêu điểm,F, F'. Gọi A là một điểm nằm trên ellipse và nằm ở góc,phần tư thứ nhất. Xét các đường tròn tiếp xúc đồng thời,với hai đường thẳng AF và AF' và có tâm nằm trên trục,tung, gọi (C) là đường tròn có tung độ tâm B là số âm.,Biết diện tích tứ giác AFBF' bằng 72, tính bán kính của,đường tròn (C).,

Question

Tính bán kính đường tròn. Câu 26 (3đ). Cho ellipse $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$ có hai tiêu điểm,F, F&#x27;. Gọi A là một điểm nằm trên ellipse và nằm ở góc,phần tư thứ nhất. Xét các đường tròn tiếp xúc đồng thời,với hai đường thẳng AF và AF&#x27; và có tâm nằm trên trục,tung, gọi (C) là đường tròn có tung độ tâm B là số âm.,Biết diện tích tứ giác AFBF&#x27; bằng 72, tính bán kính của,đường tròn (C).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/57db3df8ad9e4d56a1f67160a6def2b1.jpg />

Accepted Answer

Câu 26:
Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông số của ellipse:

Phương trình của ellipse là $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$.

- Bán trục lớn $a = \sqrt{64} = 8$.
   - Bán trục nhỏ $b = \sqrt{16} = 4$.
   - Tiêu cự $c$ được tính bằng công thức $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

Vậy, tọa độ của hai tiêu điểm là $F(c, 0) = (4\sqrt{3}, 0)$ và $F'(-c, 0) = (-4\sqrt{3}, 0)$.

2. Xét điểm A trên ellipse:

Giả sử $A(x_0, y_0)$ là điểm trên ellipse và nằm ở góc phần tư thứ nhất, thỏa mãn $\frac{x_0^2}{64} + \frac{y_0^2}{16} = 1$.

3. Xét đường tròn (C):

Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng $AF$ và $AF'$ và có tâm nằm trên trục tung, tức là có dạng $B(0, b)$.

4. Tính diện tích tứ giác $AFBF'$:

Diện tích tứ giác $AFBF'$ được cho là 72. Sử dụng công thức diện tích tứ giác với các đỉnh có tọa độ, ta có:

$$
   S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|
   $$

Với $A(x_0, y_0)$, $F(4\sqrt{3}, 0)$, $B(0, b)$, $F'(-4\sqrt{3}, 0)$.

$$
   S = \frac{1}{2} \left| x_0 \cdot 0 + 4\sqrt{3} \cdot b + 0 \cdot 0 + (-4\sqrt{3}) \cdot y_0 - (y_0 \cdot 4\sqrt{3} + 0 \cdot 0 + b \cdot (-4\sqrt{3}) + 0 \cdot x_0) \right|
   $$

$$
   = \frac{1}{2} \left| 4\sqrt{3}b - 4\sqrt{3}y_0 + 4\sqrt{3}y_0 - 4\sqrt{3}b \right| = \frac{1}{2} \left| 8\sqrt{3}b \right| = 72
   $$

$$
   \Rightarrow 8\sqrt{3}|b| = 144 \Rightarrow |b| = \frac{144}{8\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}
   $$

Vì $B$ có tung độ âm, nên $b = -6\sqrt{3}$.

5. Tính bán kính của đường tròn (C):

Đường tròn (C) có tâm $B(0, -6\sqrt{3})$ và tiếp xúc với hai đường thẳng $AF$ và $AF'$. Bán kính của đường tròn (C) chính là khoảng cách từ tâm $B$ đến một trong hai đường thẳng này.

Do đó, bán kính $r = |b| = 6\sqrt{3}$.

Vậy, bán kính của đường tròn (C) là $6\sqrt{3}$.