giải quyết với ạ

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(b) - f(a) \) với \( a < b \) và \( a, b \) là các số nguyên. Trước tiên, chúng ta sẽ tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \) để xác định các điểm cực trị: \[ f(x) = 4x^3 - 9x^2 - 30x \] \[ f'(x) = 12x^2 - 18x - 30 \] Tiếp theo, chúng ta giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ 12x^2 - 18x - 30 = 0 \] Chia cả hai vế cho 6: \[ 2x^2 - 3x - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 2 \), \( b = -3 \), và \( c = -5 \): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ x = \frac{3 \pm 7}{4} \] Do đó, các nghiệm là: \[ x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \] \[ x_2 = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \] Vì \( a \) và \( b \) là các số nguyên, chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị nguyên gần nhất với các điểm cực trị này. Kiểm tra các giá trị nguyên \( a \) và \( b \) gần nhất với \( x_1 = 2.5 \) và \( x_2 = -1 \): - \( a = -1 \) - \( b = 2 \) Tính \( f(a) \) và \( f(b) \): \[ f(-1) = 4(-1)^3 - 9(-1)^2 - 30(-1) = -4 - 9 + 30 = 17 \] \[ f(2) = 4(2)^3 - 9(2)^2 - 30(2) = 32 - 36 - 60 = -64 \] Do đó: \[ f(b) - f(a) = f(2) - f(-1) = -64 - 17 = -81 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( f(b) - f(a) \) là \(-81\). Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{-81} \] Câu 1: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( y = \sin^3 x - 2 \cos^2 x + 3 \sin x + 6 \) trên khoảng \([0; \pi]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Đặt \( t = \sin x \). Vì \( x \in [0; \pi] \), nên \( t \in [-1; 1] \). Bước 2: Biến đổi hàm số theo \( t \): \[ y = t^3 - 2(1 - t^2) + 3t + 6 \] \[ y = t^3 - 2 + 2t^2 + 3t + 6 \] \[ y = t^3 + 2t^2 + 3t + 4 \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = t^3 + 2t^2 + 3t + 4 \) trên đoạn \([-1; 1]\). Tìm đạo hàm của \( y \): \[ y' = 3t^2 + 4t + 3 \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3t^2 + 4t + 3 = 0 \] Phương trình này vô nghiệm vì biệt thức \( \Delta = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 16 - 36 = -20 < 0 \). Do đó, hàm số \( y = t^3 + 2t^2 + 3t + 4 \) đồng biến trên đoạn \([-1; 1]\). Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút: \[ y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1) + 4 = -1 + 2 - 3 + 4 = 2 \] \[ y(1) = 1^3 + 2(1)^2 + 3(1) + 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \] Vậy, giá trị lớn nhất \( M = 10 \) và giá trị nhỏ nhất \( m = 2 \). Bước 5: Tính tổng \( 10(M + m) \): \[ 10(M + m) = 10(10 + 2) = 10 \times 12 = 120 \] Đáp số: \( 120 \) Câu 2: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = e^x(x^2 - 3) \) trên đoạn \([-5, -2]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = e^x(x^2 - 3) \] Áp dụng quy tắc nhân: \[ y' = e^x(x^2 - 3) + e^x \cdot 2x = e^x(x^2 - 3 + 2x) = e^x(x^2 + 2x - 3) \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ e^x(x^2 + 2x - 3) = 0 \] Vì \( e^x \neq 0 \) với mọi \( x \), nên: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Từ đó, ta có: \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -3 \] 3. Kiểm tra các điểm tới hạn và các đầu mút của đoạn \([-5, -2]\): - Tại \( x = -5 \): \[ y(-5) = e^{-5}((-5)^2 - 3) = e^{-5}(25 - 3) = e^{-5} \cdot 22 = \frac{22}{e^5} \] - Tại \( x = -3 \): \[ y(-3) = e^{-3}((-3)^2 - 3) = e^{-3}(9 - 3) = e^{-3} \cdot 6 = \frac{6}{e^3} \] - Tại \( x = -2 \): \[ y(-2) = e^{-2}((-2)^2 - 3) = e^{-2}(4 - 3) = e^{-2} \cdot 1 = \frac{1}{e^2} \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: - \( y(-5) = \frac{22}{e^5} \) - \( y(-3) = \frac{6}{e^3} \) - \( y(-2) = \frac{1}{e^2} \) Ta thấy rằng \( \frac{6}{e^3} \) là giá trị lớn nhất trong ba giá trị trên. 5. Xác định \( a \) và \( b \): \[ M = \frac{6}{e^3} \implies a = 6, \quad b = 3 \] 6. Tính giá trị của biểu thức \( P = a + b \): \[ P = 6 + 3 = 9 \] Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{9} \] Câu 3: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 + \frac{16}{x} \) trên đoạn \([1; 4]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y \). \[ y' = \frac{d}{dx}\left( x^2 + \frac{16}{x} \right) = 2x - \frac{16}{x^2} \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn trong khoảng \((1; 4)\). \[ 2x - \frac{16}{x^2} = 0 \] \[ 2x = \frac{16}{x^2} \] \[ 2x^3 = 16 \] \[ x^3 = 8 \] \[ x = 2 \] Bước 3: Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn \([1; 4]\). - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^2 + \frac{16}{1} = 1 + 16 = 17 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^2 + \frac{16}{2} = 4 + 8 = 12 \] - Tại \( x = 4 \): \[ y(4) = 4^2 + \frac{16}{4} = 16 + 4 = 20 \] Bước 4: So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất. \[ y(1) = 17 \] \[ y(2) = 12 \] \[ y(4) = 20 \] Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 + \frac{16}{x} \) trên đoạn \([1; 4]\) là 12, đạt được khi \( x = 2 \). Câu 4: Để tìm thời điểm \( t \) mà số vi khuẩn \( N(t) \) đạt giá trị lớn nhất trong khoảng \( 0 \leq t \leq 30 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \( N(t) \): \[ N(t) = 1000 + 30t^2 - t^3 \] Đạo hàm \( N(t) \) theo \( t \): \[ N'(t) = \frac{d}{dt}(1000 + 30t^2 - t^3) = 60t - 3t^2 \] 2. Giải phương trình \( N'(t) = 0 \) để tìm các điểm dừng: \[ 60t - 3t^2 = 0 \] \[ 3t(20 - t) = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 20 \] 3. Kiểm tra giá trị của \( N(t) \) tại các điểm dừng và tại biên của khoảng \( [0, 30] \): - Tại \( t = 0 \): \[ N(0) = 1000 + 30(0)^2 - (0)^3 = 1000 \] - Tại \( t = 20 \): \[ N(20) = 1000 + 30(20)^2 - (20)^3 = 1000 + 30 \cdot 400 - 8000 = 1000 + 12000 - 8000 = 5000 \] - Tại \( t = 30 \): \[ N(30) = 1000 + 30(30)^2 - (30)^3 = 1000 + 30 \cdot 900 - 27000 = 1000 + 27000 - 27000 = 1000 \] 4. So sánh các giá trị trên để tìm giá trị lớn nhất: - \( N(0) = 1000 \) - \( N(20) = 5000 \) - \( N(30) = 1000 \) Rõ ràng, giá trị lớn nhất của \( N(t) \) là 5000, đạt được khi \( t = 20 \). Do đó, sau 20 phút, số vi khuẩn đạt giá trị lớn nhất là 5000.