giúp em với ạ

Câu hỏi: Giúp em với ạ BTVN: C1 : Tìm khoảng ĐB - NB s cực trị. $a)~y=x^3-6x^2+3$ $b)~y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x-1$ $c)~y=x^4-8x^2+3$ $d)~y=-2x^4-4x^2+1$ Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: a) $y = x^3 - 6x^2 + 3$ 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: $y' = 3x^2 - 12x$ 2. Giải phương trình $y' = 0$: $3x^2 - 12x = 0$ $3x(x - 4) = 0$ $x = 0$ hoặc $x = 4$ 3. Xét dấu của $y'$ trên các khoảng $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$, và $(4, +\infty)$: - Trên khoảng $(-\infty, 0)$, chọn $x = -1$: $y' = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 > 0$ - Trên khoảng $(0, 4)$, chọn $x = 2$: $y' = 3(2)^2 - 12(2) = 12 - 24 = -12 < 0$ - Trên khoảng $(4, +\infty)$, chọn $x = 5$: $y' = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 > 0$ 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, 0)$ và $(4, +\infty)$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, 4)$. - Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, giá trị cực đại là $y(0) = 3$. - Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 4$, giá trị cực tiểu là $y(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 3 = 64 - 96 + 3 = -29$. b) $y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: $y' = x^2 - 4x + 3$ 2. Giải phương trình $y' = 0$: $x^2 - 4x + 3 = 0$ $(x - 1)(x - 3) = 0$ $x = 1$ hoặc $x = 3$ 3. Xét dấu của $y'$ trên các khoảng $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$, và $(3, +\infty)$: - Trên khoảng $(-\infty, 1)$, chọn $x = 0$: $y' = 0^2 - 4(0) + 3 = 3 > 0$ - Trên khoảng $(1, 3)$, chọn $x = 2$: $y' = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0$ - Trên khoảng $(3, +\infty)$, chọn $x = 4$: $y' = 4^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0$ 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, 1)$ và $(3, +\infty)$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1, 3)$. - Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$, giá trị cực đại là $y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) - 1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 - 1 = \frac{1}{3}$. - Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$, giá trị cực tiểu là $y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3) - 1 = 9 - 18 + 9 - 1 = -1$. c) $y = x^4 - 8x^2 + 3$ 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: $y' = 4x^3 - 16x$ 2. Giải phương trình $y' = 0$: $4x^3 - 16x = 0$ $4x(x^2 - 4) = 0$ $4x(x - 2)(x + 2) = 0$ $x = 0$ hoặc $x = 2$ hoặc $x = -2$ 3. Xét dấu của $y'$ trên các khoảng $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, và $(2, +\infty)$: - Trên khoảng $(-\infty, -2)$, chọn $x = -3$: $y' = 4(-3)^3 - 16(-3) = -108 + 48 = -60 < 0$ - Trên khoảng $(-2, 0)$, chọn $x = -1$: $y' = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 > 0$ - Trên khoảng $(0, 2)$, chọn $x = 1$: $y' = 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 < 0$ - Trên khoảng $(2, +\infty)$, chọn $x = 3$: $y' = 4(3)^3 - 16(3) = 108 - 48 = 60 > 0$ 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2, 0)$ và $(2, +\infty)$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty, -2)$ và $(0, 2)$. - Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, giá trị cực đại là $y(0) = 3$. - Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -2$ và $x = 2$, giá trị cực tiểu là $y(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13$ và $y(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13$. d) $y = -2x^4 - 4x^2 + 1$ 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: $y' = -8x^3 - 8x$ 2. Giải phương trình $y' = 0$: $-8x^3 - 8x = 0$ $-8x(x^2 + 1) = 0$ $x = 0$ 3. Xét dấu của $y'$ trên các khoảng $(-\infty, 0)$ và $(0, +\infty)$: - Trên khoảng $(-\infty, 0)$, chọn $x = -1$: $y' = -8(-1)^3 - 8(-1) = 8 + 8 = 16 > 0$ - Trên khoảng $(0, +\infty)$, chọn $x = 1$: $y' = -8(1)^3 - 8(1) = -8 - 8 = -16 < 0$ 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, 0)$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, +\infty)$. - Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, giá trị cực đại là $y(0) = 1$. Câu 2: a) Xét hàm số \( y = x^2 - 2x \) trên đoạn \([-3, 3]\). - Điều kiện xác định: Hàm số này xác định trên toàn bộ miền số thực, do đó không cần thêm điều kiện nào khác. - Tính đạo hàm: \[ y' = 2x - 2 \] - Tìm nghiệm của đạo hàm: \[ 2x - 2 = 0 \implies x = 1 \] - Đánh giá giá trị của hàm số tại các điểm đầu, cuối đoạn và tại các nghiệm của đạo hàm: \[ y(-3) = (-3)^2 - 2(-3) = 9 + 6 = 15 \] \[ y(1) = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1 \] \[ y(3) = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3 \] - Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là 15, đạt được khi \( x = -3 \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1, đạt được khi \( x = 1 \). b) Xét hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 3 \) trên đoạn \([-2, 2]\). - Điều kiện xác định: Hàm số này xác định trên toàn bộ miền số thực, do đó không cần thêm điều kiện nào khác. - Tính đạo hàm: \[ y' = 3x^2 - 6x \] - Tìm nghiệm của đạo hàm: \[ 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] - Đánh giá giá trị của hàm số tại các điểm đầu, cuối đoạn và tại các nghiệm của đạo hàm: \[ y(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 3 = -8 - 12 - 3 = -23 \] \[ y(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 3 = -3 \] \[ y(2) = 2^3 - 3(2)^2 - 3 = 8 - 12 - 3 = -7 \] - Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là -3, đạt được khi \( x = 0 \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -23, đạt được khi \( x = -2 \). c) Xét hàm số \( y = -\frac{1}{4}x^4 - 4x^3 + 3 \) trên đoạn \([-5, 4]\). - Điều kiện xác định: Hàm số này xác định trên toàn bộ miền số thực, do đó không cần thêm điều kiện nào khác. - Tính đạo hàm: \[ y' = -x^3 - 12x^2 \] - Tìm nghiệm của đạo hàm: \[ -x^3 - 12x^2 = 0 \implies -x^2(x + 12) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = -12 \] - Đánh giá giá trị của hàm số tại các điểm đầu, cuối đoạn và tại các nghiệm của đạo hàm: \[ y(-5) = -\frac{1}{4}(-5)^4 - 4(-5)^3 + 3 = -\frac{1}{4}(625) + 500 + 3 = -156.25 + 500 + 3 = 346.75 \] \[ y(0) = -\frac{1}{4}(0)^4 - 4(0)^3 + 3 = 3 \] \[ y(4) = -\frac{1}{4}(4)^4 - 4(4)^3 + 3 = -\frac{1}{4}(256) - 256 + 3 = -64 - 256 + 3 = -317 \] - Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là 346.75, đạt được khi \( x = -5 \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -317, đạt được khi \( x = 4 \).