Tính giá trị $a^2 + b^2$. Câu 29 (4đ). Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm,A, B thoả mãn $\overline{OA}=\sqrt2,\overline{OB}=2\sqrt2,\cos\widehat{AOB}=\frac14.$ Gọi,P là một điểm nằm trong hình bình hành OACB sao,cho $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ (với $0\leq s\leq1,0\leq t\leq1).$ và,$\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}.\overrightarrow{BC}=2.$ Gọi X là điểm di động trên,đường tròn tâm O và đi qua A. Gọi M, m lần lượt là,giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $|3\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OX}|.$ Biết rằng,$M imes m=a\sqrt6+b$ (với $a,b\in\mathbb{Q}),$ tính giá trị của biểu,thức $a^2+b^2.$

Question

Tính giá trị $a^2 + b^2$. Câu 29 (4đ). Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm,A, B thoả mãn $\overline{OA}=\sqrt2,\overline{OB}=2\sqrt2,\cos\widehat{AOB}=\frac14.$ Gọi,P là một điểm nằm trong hình bình hành OACB sao,cho $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ (với $0\leq s\leq1,0\leq t\leq1).$ và,$\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}.\overrightarrow{BC}=2.$ Gọi X là điểm di động trên,đường tròn tâm O và đi qua A. Gọi M, m lần lượt là,giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $|3\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OX}|.$ Biết rằng,$M	imes m=a\sqrt6+b$ (với $a,b\in\mathbb{Q}),$ tính giá trị của biểu,thức $a^2+b^2.$

Accepted Answer

Ta có:

$|\vec{OA}|^2 = 2$, $|\vec{OB}|^2 = 8$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| \cdot |\vec{OB}| \cdot \cos(\widehat{AOB}) = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{4} = 1$

Từ giả thiết $\vec{OP} \cdot \vec{OB} + \vec{BP} \cdot \vec{BC} = 2$ và $\vec{BC} = \vec{OA}$, ta có:

$(s\vec{OA} + t\vec{OB}) \cdot \vec{OB} + (s\vec{OA} + (t-1)\vec{OB}) \cdot \vec{OA} = 2$

$\Leftrightarrow s(\vec{OA}\cdot\vec{OB}) + t|\vec{OB}|^2 + s|\vec{OA}|^2 + (t-1)(\vec{OA}\cdot\vec{OB}) = 2$

$\Leftrightarrow s + 8t + 2s + t - 1 = 2$

$\Leftrightarrow 3s + 9t = 3 \Leftrightarrow s + 3t = 1$

Với $0 \le s, t \le 1$, suy ra $0 \le 1-3t \le 1 \implies 0 \le t \le \frac{1}{3}$

Đặt $\vec{OK} = 3\vec{OP}$. tìm GTLN, GTNN của $|\vec{OK} - \vec{OX}| = KX$

$\vec{OP} = (1-3t)\vec{OA} + t\vec{OB} = \vec{OA} + t(\vec{OB} - 3\vec{OA})$

Do $0 \le t \le \frac{1}{3}$, quỹ tích của $P$ là đoạn thẳng $P_1P_2$ với $\vec{OP_1} = \vec{OA}$ (khi $t=0$) và $\vec{OP_2} = \frac{1}{3}\vec{OB}$ (khi $t=\frac{1}{3}$)

Suy ra quỹ tích của $K$ là đoạn thẳng $A'B$ với $\vec{OA'} = 3\vec{OA}$ và $\vec{OB'} = \vec{OB}$

Điểm $X$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $O$, bán kính $R = |\vec{OA}| = \sqrt{2}$

Giá trị lớn nhất:

$M = \max(|\vec{OA'}|, |\vec{OB}|) + R = \max(3\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Giá trị nhỏ nhất:

$|\vec{A'B}|^2 = |\vec{OB} - 3\vec{OA}|^2 = |\vec{OB}|^2 - 6(\vec{OA}\cdot\vec{OB}) + 9|\vec{OA}|^2 = 8 - 6 \cdot1 + 9 \cdot 2 = 20$

$\implies |\vec{A'B}| = 2\sqrt{5}$.

$\sin(\widehat{AOB}) = \sqrt{1 - \cos^2(\widehat{AOB})} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4} ight)^2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$S_{ riangle OA'B} = \frac{1}{2}|\vec{OA'}| \cdot |\vec{OB}| \cdot \sin(\widehat{AOB}) = \frac{1}{2}(3\sqrt{2})(2\sqrt{2})\frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$

$h = \frac{2S_{ riangle OA'B}}{|\vec{A'B}|} = \frac{3\sqrt{15}}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Do $h > R$, giá trị nhỏ nhất là $m = h - R = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$

$M \cdot m = 4\sqrt{2} \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2} ight) = 6\sqrt{6} - 8$

So sánh với $a\sqrt{6} + b$, ta có $a=6, b=-8$

Vậy, $a^2 + b^2 = 6^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100$

Tính giá trị .