Bzbshshshsh

BÀI 28: Để giải quyết các bài toán về biến cố hợp, biến cố giao, và biến cố độc lập, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức cơ bản về xác suất và logic toán học. Dưới đây là các bước chi tiết để giải quyết từng loại bài toán này. 1. Biến Cố Hợp Biến cố hợp của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra nếu ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Xác suất của biến cố hợp được tính theo công thức: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Ví dụ: Giả sử có hai biến cố A và B với xác suất lần lượt là \( P(A) = 0.4 \) và \( P(B) = 0.5 \). Biến cố giao của A và B có xác suất \( P(A \cap B) = 0.2 \). Ta tính xác suất của biến cố hợp: \[ P(A \cup B) = 0.4 + 0.5 - 0.2 = 0.7 \] 2. Biến Cố Giao Biến cố giao của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra nếu cả hai biến cố A và B đều xảy ra cùng một lúc. Xác suất của biến cố giao được tính theo công thức: \[ P(A \cap B) \] Ví dụ: Giả sử có hai biến cố A và B với xác suất lần lượt là \( P(A) = 0.4 \) và \( P(B) = 0.5 \). Biến cố giao của A và B có xác suất \( P(A \cap B) = 0.2 \). 3. Biến Cố Độc Lập Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu xác suất của mỗi biến cố không phụ thuộc vào việc biến cố kia có xảy ra hay không. Điều này có nghĩa là: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] Ví dụ: Giả sử có hai biến cố A và B với xác suất lần lượt là \( P(A) = 0.4 \) và \( P(B) = 0.5 \). Ta kiểm tra xem hai biến cố này có độc lập hay không bằng cách tính \( P(A \cap B) \): \[ P(A \cap B) = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \] Nếu \( P(A \cap B) = 0.2 \), thì hai biến cố A và B là độc lập. Bài Tập Trắc Nghiệm Dưới đây là một ví dụ về bài tập trắc nghiệm liên quan đến các biến cố trên: Câu hỏi: Cho hai biến cố A và B với xác suất \( P(A) = 0.3 \) và \( P(B) = 0.4 \). Biết rằng \( P(A \cap B) = 0.12 \). Hỏi xác suất của biến cố hợp \( P(A \cup B) \) là bao nhiêu? Lời giải: Áp dụng công thức xác suất của biến cố hợp: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] \[ P(A \cup B) = 0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58 \] Vậy, xác suất của biến cố hợp \( P(A \cup B) \) là 0.58. Đáp án: 0.58 Kết luận Trên đây là các bước chi tiết để giải quyết các bài toán liên quan đến biến cố hợp, biến cố giao, và biến cố độc lập. Các ví dụ và bài tập trắc nghiệm đã được cung cấp để minh họa cách áp dụng các công thức và lý thuyết. Câu 1: Biến cố "A hoặc B xảy ra" được gọi là biến cố hợp của A và B. Lập luận từng bước: - Biến cố giao của A và B là biến cố xảy ra khi cả A và B cùng xảy ra. - Biến cố đối của A là biến cố xảy ra khi A không xảy ra. - Biến cố hợp của A và B là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. - Biến cố đối của B là biến cố xảy ra khi B không xảy ra. Do đó, biến cố "A hoặc B xảy ra" chính là biến cố hợp của A và B. Đáp án đúng là: C. Biến cố hợp của A và B. Câu 2: Biến cố "Cả A và B đều xảy ra" được gọi là biến cố giao của A và B. Lập luận từng bước: - Biến cố giao của A và B là biến cố xảy ra khi cả A và B đều xảy ra. - Biến cố đối của A là biến cố xảy ra khi A không xảy ra. - Biến cố hợp của A và B là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. - Biến cố đối của B là biến cố xảy ra khi B không xảy ra. Do đó, đáp án đúng là: A. Biến cố giao của A và B. Câu 3: Câu hỏi: Cho hai biến cố A và B. Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố A và B được gọi là: A. Xung khắc với nhau. B. Biến cố đối của nhau. C. Độc lập với nhau. D. Không giao với nhau. Lập luận từng bước: 1. Xung khắc với nhau: Hai biến cố xung khắc với nhau nếu chúng không thể xảy ra cùng một lúc. Điều này không liên quan đến việc xác suất của một biến cố không bị ảnh hưởng bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố khác. 2. Biến cố đối của nhau: Hai biến cố đối của nhau nếu tổng xác suất của chúng bằng 1 và chúng không thể xảy ra cùng một lúc. Điều này cũng không liên quan đến việc xác suất của một biến cố không bị ảnh hưởng bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố khác. 3. Độc lập với nhau: Hai biến cố độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. Điều này chính xác mô tả tình huống trong câu hỏi. 4. Không giao với nhau: Hai biến cố không giao với nhau nếu chúng không thể xảy ra cùng một lúc. Điều này không liên quan đến việc xác suất của một biến cố không bị ảnh hưởng bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố khác. Vậy, đáp án đúng là: C. Độc lập với nhau. Câu 4: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về tính chất của các biến cố độc lập. Hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là độc lập nếu xác suất của mỗi biến cố không phụ thuộc vào việc biến cố kia đã xảy ra hay chưa. Điều này có nghĩa là: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. Hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập. - Điều này trái ngược với giả thiết ban đầu, vì theo giả thiết, \(A\) và \(B\) là độc lập. Do đó, mệnh đề này sai. B. Hai biến cố \(\overline{A}\) và \(B\) không độc lập. - Nếu \(A\) và \(B\) độc lập, thì \(\overline{A}\) (biến cố đối của \(A\)) cũng sẽ độc lập với \(B\). Vì vậy, mệnh đề này sai. C. Hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập. - Điều này đúng theo giả thiết ban đầu. D. Hai biến cố \(A\) và \(A \cup B\) độc lập. - Để kiểm tra tính độc lập của \(A\) và \(A \cup B\), chúng ta cần xem xét xác suất của \(A \cap (A \cup B)\): \[ A \cap (A \cup B) = A \] Do đó: \[ P(A \cap (A \cup B)) = P(A) \] Mặt khác: \[ P(A) \cdot P(A \cup B) \neq P(A) \] trừ khi \(P(A \cup B) = 1\), nhưng điều này không phải lúc nào cũng đúng. Do đó, \(A\) và \(A \cup B\) không phải lúc nào cũng độc lập. Từ những lập luận trên, chúng ta thấy rằng mệnh đề đúng là: C. Hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập. Câu 5: Biến cố A: "Thành viên được chọn là học sinh khối 11". Biến cố B: "Thành viên được chọn là học sinh nam". Biến cố AUB là biến cố "Thành viên được chọn là học sinh khối 11 hoặc là học sinh nam". Do đó, đáp án đúng là: C. "Thành viên được chọn là học sinh khối 11 hoặc là học sinh nam". Câu 6: Để xác định biến cố \( A \cap B \) (tức là biến cố cả hai biến cố \( A \) và \( B \) cùng xảy ra), chúng ta cần tìm các số tự nhiên từ 1 đến 20 mà chia hết cho cả 3 và 4. Biến cố \( A \): Số được chọn chia hết cho 3. Các số chia hết cho 3 từ 1 đến 20 là: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Biến cố \( B \): Số được chọn chia hết cho 4. Các số chia hết cho 4 từ 1 đến 20 là: 4, 8, 12, 16, 20. Biến cố \( A \cap B \): Số được chọn chia hết cho cả 3 và 4. Các số chia hết cho cả 3 và 4 từ 1 đến 20 là: 12. Do đó, biến cố \( A \cap B \) là: \[ \{12\} \] Vậy đáp án đúng là: C. \(\{12\}\). Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết yêu cầu cụ thể là gì. Tuy nhiên, dựa trên thông tin đã cung cấp, chúng ta sẽ giả định rằng yêu cầu là xác định xác suất để lấy ra một tấm thẻ có số chẵn hoặc số lẻ. Bước 1: Xác định tổng số tấm thẻ trong hộp. Tổng số tấm thẻ là 30. Bước 2: Xác định số lượng tấm thẻ có số chẵn và số lẻ. - Số chẵn từ 1 đến 30 là: 2, 4, 6, ..., 30. Dãy số này có 15 số. - Số lẻ từ 1 đến 30 là: 1, 3, 5, ..., 29. Dãy số này cũng có 15 số. Bước 3: Xác định xác suất để lấy ra một tấm thẻ có số chẵn hoặc số lẻ. - Xác suất để lấy ra một tấm thẻ có số chẵn là: \[ P(\text{số chẵn}) = \frac{\text{số tấm thẻ có số chẵn}}{\text{tổng số tấm thẻ}} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} \] - Xác suất để lấy ra một tấm thẻ có số lẻ là: \[ P(\text{số lẻ}) = \frac{\text{số tấm thẻ có số lẻ}}{\text{tổng số tấm thẻ}} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} \] Vậy xác suất để lấy ra một tấm thẻ có số chẵn hoặc số lẻ là: \[ P(\text{số chẵn hoặc số lẻ}) = P(\text{số chẵn}) + P(\text{số lẻ}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] Đáp số: Xác suất để lấy ra một tấm thẻ có số chẵn hoặc số lẻ là 1.