Câu 1.
Để xác định điểm cực tiểu của đồ thị hàm số, chúng ta cần tìm điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số thay đổi từ âm sang dương. Điều này tương ứng với điểm mà đồ thị chuyển từ giảm sang tăng.
Trên đồ thị, ta thấy:
- Từ trái qua phải, hàm số giảm dần cho đến khi đạt điểm .
- Sau điểm , hàm số bắt đầu tăng lên.
Do đó, điểm là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Vậy đáp án đúng là:
D. .
Câu 2.
Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số , ta cần tìm các giá trị của làm cho mẫu số bằng 0 (vì khi đó hàm số sẽ không xác định).
Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
Bước 2: Xác định tiệm cận đứng:
Tiệm cận đứng của hàm số là các đường thẳng , trong đó là các giá trị làm cho mẫu số bằng 0. Trong trường hợp này, mẫu số bằng 0 khi . Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 3.
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Đối với phương trình , ta cần đảm bảo rằng . Do đó, .
2. Giải phương trình:
- Phương trình có nghĩa là .
- Ta tính , do đó .
- Giải phương trình , ta có .
3. Kiểm tra điều kiện xác định:
- Ta đã xác định . Với , điều kiện này được thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là .
Đáp án đúng là:
Câu 4.
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định miền xác định của hàm số:
Hàm số có nghĩa là .
Giải bất phương trình này:
Vậy miền xác định của hàm số là .
2. Tìm giá trị cực đại của hàm số:
Để tìm giá trị cực đại, chúng ta tính đạo hàm của hàm số:
Áp dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai:
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:
3. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị:
- Tại :
- Tại :
- Tại :
4. So sánh các giá trị đã tìm được:
Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là:
-
-
-
Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là 2.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi .
Đáp án đúng là: C. 2.
Câu 5.
Để tìm nguyên hàm của hàm số , ta thực hiện các bước sau:
1. Phân tích biểu thức:
Ta có:
2. Tìm nguyên hàm từng phần:
Nguyên hàm của là .
Nguyên hàm của là .
3. Viết tổng nguyên hàm:
Do đó, nguyên hàm của là:
4. Kết luận:
Vậy nguyên hàm của hàm số là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 6.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình thang với và , đoạn thẳng dài gấp đôi đoạn thẳng . Điều này có nghĩa là nếu ta coi đoạn thẳng là một đơn vị thì đoạn thẳng sẽ là hai đơn vị.
Bây giờ, ta xét từng khẳng định:
A. .
- Ta thấy rằng đoạn thẳng dài gấp đôi đoạn thẳng , do đó vector cũng sẽ dài gấp đôi vector . Vì vậy, khẳng định này là đúng.
B. .
- Điều này không đúng vì đoạn thẳng chỉ bằng một nửa đoạn thẳng , không thể gấp đôi đoạn thẳng .
C. .
- Vector là vector ngược chiều với . Do đó, không thể bằng hai lần vì chúng ngược chiều nhau.
D. .
- Vector là vector ngược chiều với . Do đó, không thể bằng hai lần vì chúng ngược chiều nhau.
Từ các lập luận trên, ta thấy rằng chỉ có khẳng định A là đúng.
Đáp án: A. .
Câu 7.
Cấp số cộng có và công sai .
Ta biết rằng trong một cấp số cộng, mỗi số hạng tiếp theo được tính bằng cách cộng thêm công sai vào số hạng trước đó. Do đó, ta có:
Thay các giá trị đã cho vào công thức trên:
Vậy giá trị của là 7.
Đáp án đúng là: C. 7.
Câu 8.
Để tìm độ dài của vectơ , ta sử dụng công thức tính độ dài của một vectơ trong không gian Oxyz.
Công thức độ dài của vectơ là:
Áp dụng vào vectơ , ta có:
Vậy độ dài của vectơ là .
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 9.
Để tìm giá trị của , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
- Gọi là tâm của hình lập phương.
- Đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm .
- Gọi là trung điểm của đoạn thẳng .
2. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng :
- Vì là mặt phẳng vuông góc với , nên khoảng cách từ đến mặt phẳng này là độ dài đoạn thẳng .
3. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng :
- Ta có là đường chéo của mặt phẳng , do đó (với là độ dài cạnh của hình lập phương).
- Khoảng cách từ đến là khoảng cách từ đến (trung điểm của ).
4. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
- Khoảng cách từ đến là .
5. Tính giá trị của :
-
-
Vậy giá trị của là .
Đáp án đúng là: .
Câu 10.
Ta có:
Thay các giá trị đã cho vào phương trình trên:
Giải phương trình này để tìm :
Vậy giá trị của là 7.
Đáp án đúng là: D. 7.
Câu 11.
Mặt phẳng có phương trình .
Phương trình này có dạng tổng quát , trong đó là các hệ số của tương ứng.
Vì vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ là .
Do đó, đáp án đúng là:
Đáp án: .
Câu 12.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định trung vị của mỗi mẫu số liệu
Trung vị là giá trị ở giữa của một dãy số đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Nếu số lượng giá trị là lẻ, trung vị là giá trị ở chính giữa. Nếu số lượng giá trị là chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa.
Mẫu số liệu A:
- Tổng số giá trị:
- Số trung vị nằm ở vị trí . Do đó, trung vị nằm trong khoảng từ giá trị thứ 27 đến giá trị thứ 28.
Ta tính tổng tần số để xác định trung vị:
- Nhóm [160; 180): 14 giá trị
- Nhóm [180; 200): 22 giá trị (tổng là 14 + 22 = 36)
Vì giá trị thứ 27 và 28 đều nằm trong nhóm [180; 200), nên trung vị của mẫu số liệu A nằm trong khoảng này.
Mẫu số liệu B:
- Tổng số giá trị:
- Số trung vị nằm ở vị trí . Do đó, trung vị nằm trong khoảng từ giá trị thứ 27 đến giá trị thứ 28.
Ta tính tổng tần số để xác định trung vị:
- Nhóm [160; 180): 14 giá trị
- Nhóm [180; 200): 22 giá trị (tổng là 14 + 22 = 36)
Vì giá trị thứ 27 và 28 đều nằm trong nhóm [180; 200), nên trung vị của mẫu số liệu B nằm trong khoảng này.
Bước 2: Xác định khoảng cách giữa trung vị của hai mẫu số liệu
Do trung vị của cả hai mẫu số liệu đều nằm trong cùng một nhóm [180; 200), khoảng cách giữa trung vị của hai mẫu số liệu là 0.
Kết luận:
Trung vị của cả hai mẫu số liệu A và B đều nằm trong nhóm [180; 200). Vì vậy, khoảng cách giữa trung vị của hai mẫu số liệu là 0.