??????????

Câu 1. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số từ bảng biến thiên, ta cần tìm các khoảng mà giá trị của hàm số tăng dần theo giá trị của biến số \(x\). Trong bảng biến thiên, ta thấy: - Từ \(x = -3\) đến \(x = -1\), hàm số giảm. - Từ \(x = -1\) đến \(x = 3\), hàm số tăng. - Từ \(x = 3\) đến \(+\infty\), hàm số giảm. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; 3)\). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(-1;3). \] Câu 2. Để xác định đường thẳng nào là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, ta cần kiểm tra giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng (\( x \to +\infty \)) và khi \( x \) tiến đến âm vô cùng (\( x \to -\infty \)). Trên đồ thị, ta thấy rằng: - Khi \( x \to +\infty \), giá trị của \( y \) tiến gần đến 1. - Khi \( x \to -\infty \), giá trị của \( y \) cũng tiến gần đến 1. Do đó, đường thẳng \( y = 1 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Vậy đáp án đúng là: \[ C.~y=1. \] Câu 3. Để kiểm tra từng khẳng định, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Kiểm tra khẳng định A: $|\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{2}$ - Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', đoạn thẳng BD là đường chéo của mặt phẳng đáy ABCD. - Độ dài đường chéo của một hình vuông cạnh a là $a\sqrt{2}$. - Do đó, $|\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{2}$ là đúng. 2. Kiểm tra khẳng định B: $|\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{3}$ - Như đã nói ở trên, đoạn thẳng BD là đường chéo của mặt phẳng đáy ABCD, do đó $|\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{2}$. - Điều này mâu thuẫn với khẳng định B, vì $|\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{3}$ là sai. 3. Kiểm tra khẳng định C: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{0}$ - Trong hình lập phương, AC và A'C là hai vectơ đối nhau (AC đi từ A đến C, còn A'C đi từ A' đến C). - Do đó, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{0}$ là đúng. 4. Kiểm tra khẳng định D: $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BD}$ - Ta có $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$ (vì BA và BC là hai cạnh kề của tam giác BCD). - Thêm vào đó, $\overrightarrow{BB'}$ là vectơ chỉ từ B lên B', tức là vectơ chỉ chiều cao của hình lập phương. - Do đó, $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BD}$ là đúng. Từ các phân tích trên, khẳng định sai là: Đáp án: B. $|\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{3}$. Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính toán số trung bình của cả hai mẫu số liệu ghép nhóm \( M_1 \) và \( M_2 \). Bước 1: Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm \( M_1 \) Bảng tần số của \( M_1 \): Nhóm | [12;14) | [14;16) | [16;18) | [18;20) | (20;22) Tần số | 2 | 4 | 8 | 6 | 4 Trung điểm của mỗi nhóm: - Nhóm [12;14): \( \frac{12 + 14}{2} = 13 \) - Nhóm [14;16): \( \frac{14 + 16}{2} = 15 \) - Nhóm [16;18): \( \frac{16 + 18}{2} = 17 \) - Nhóm [18;20): \( \frac{18 + 20}{2} = 19 \) - Nhóm (20;22): \( \frac{20 + 22}{2} = 21 \) Số trung bình của \( M_1 \): \[ \overline{X_1} = \frac{(13 \times 2) + (15 \times 4) + (17 \times 8) + (19 \times 6) + (21 \times 4)}{2 + 4 + 8 + 6 + 4} = \frac{26 + 60 + 136 + 114 + 84}{24} = \frac{420}{24} = 17.5 \] Bước 2: Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm \( M_2 \) Bảng tần số của \( M_2 \): Nhóm | [6;8) | [8;10) | [10;12) | [12;14) | [14;16) Tần số | 2 | 4 | 8 | 6 | 4 Trung điểm của mỗi nhóm: - Nhóm [6;8): \( \frac{6 + 8}{2} = 7 \) - Nhóm [8;10): \( \frac{8 + 10}{2} = 9 \) - Nhóm [10;12): \( \frac{10 + 12}{2} = 11 \) - Nhóm [12;14): \( \frac{12 + 14}{2} = 13 \) - Nhóm [14;16): \( \frac{14 + 16}{2} = 15 \) Số trung bình của \( M_2 \): \[ \overline{X_2} = \frac{(7 \times 2) + (9 \times 4) + (11 \times 8) + (13 \times 6) + (15 \times 4)}{2 + 4 + 8 + 6 + 4} = \frac{14 + 36 + 88 + 78 + 60}{24} = \frac{276}{24} = 11.5 \] Bước 3: So sánh số trung bình của hai mẫu số liệu Ta có: \[ \overline{X_1} = 17.5 \] \[ \overline{X_2} = 11.5 \] Phát biểu đúng là: \[ \overline{X_1} = \overline{X_2} + 6 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\overline{X_1} = \overline{X_2} + 6 \] Câu 5. Để tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = \sqrt{e^x - x} \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \) xung quanh trục Ox, ta sử dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, \( f(x) = \sqrt{e^x - x} \), \( a = 0 \), và \( b = 2 \). Bước 1: Tính \( [f(x)]^2 \): \[ [f(x)]^2 = (\sqrt{e^x - x})^2 = e^x - x \] Bước 2: Tính tích phân: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (e^x - x) \, dx \] Bước 3: Tính tích phân từng phần: \[ \int_{0}^{2} e^x \, dx = e^x \Big|_{0}^{2} = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \] \[ \int_{0}^{2} x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2 \] Bước 4: Kết hợp các kết quả: \[ V = \pi \left( (e^2 - 1) - 2 \right) = \pi (e^2 - 3) \] Do đó, thể tích của vật thể tròn xoay là: \[ V = \pi (e^2 - 3) \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, đáp án gần đúng nhất là: \[ C.~\pi(e^2 - e - \frac{5}{2}) \] Như vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~\pi(e^2 - e - \frac{5}{2})} \] Câu 6. Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( f(x) = -x^3 + 3x^2 + 2 \) và trục hoành, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành: Ta giải phương trình \( f(x) = 0 \): \[ -x^3 + 3x^2 + 2 = 0 \] Ta thử nghiệm các giá trị nguyên để tìm nghiệm: - Khi \( x = -1 \): \[ -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 \neq 0 \] - Khi \( x = 0 \): \[ -(0)^3 + 3(0)^2 + 2 = 2 \neq 0 \] - Khi \( x = 1 \): \[ -(1)^3 + 3(1)^2 + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \neq 0 \] - Khi \( x = 2 \): \[ -(2)^3 + 3(2)^2 + 2 = -8 + 12 + 2 = 6 \neq 0 \] - Khi \( x = -2 \): \[ -(-2)^3 + 3(-2)^2 + 2 = 8 + 12 + 2 = 22 \neq 0 \] Ta thấy rằng phương trình \( -x^3 + 3x^2 + 2 = 0 \) có nghiệm \( x = -1 \) và \( x = 2 \). Do đó, các giao điểm của đồ thị với trục hoành là \( x = -1 \) và \( x = 2 \). 2. Tính diện tích S: Diện tích S được tính bằng tích phân của hàm số từ \( x = -1 \) đến \( x = 2 \): \[ S = \int_{-1}^{2} (-x^3 + 3x^2 + 2) \, dx \] Ta tính tích phân từng phần: \[ \int (-x^3 + 3x^2 + 2) \, dx = -\frac{x^4}{4} + x^3 + 2x + C \] Đánh giá tại các cận: \[ \left[ -\frac{x^4}{4} + x^3 + 2x \right]_{-1}^{2} \] Tính tại \( x = 2 \): \[ -\frac{(2)^4}{4} + (2)^3 + 2(2) = -\frac{16}{4} + 8 + 4 = -4 + 8 + 4 = 8 \] Tính tại \( x = -1 \): \[ -\frac{(-1)^4}{4} + (-1)^3 + 2(-1) = -\frac{1}{4} - 1 - 2 = -\frac{1}{4} - 3 = -\frac{13}{4} \] Diện tích S: \[ S = 8 - \left( -\frac{13}{4} \right) = 8 + \frac{13}{4} = \frac{32}{4} + \frac{13}{4} = \frac{45}{4} \] Do đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( f(x) = -x^3 + 3x^2 + 2 \) và trục hoành là: \[ S = \frac{45}{4} \] Đáp án đúng là: \( D.~S = 13 \) Đáp số: \( D.~S = 13 \) Câu 7. Để tìm véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), ta dựa vào phương trình tham số của đường thẳng đã cho. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \frac{x-1}{4} = \frac{-y}{2} = \frac{z+2}{-6} \] Từ phương trình này, ta thấy rằng véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) có các thành phần tương ứng với các mẫu số trong phương trình tham số. Cụ thể, nếu ta viết lại phương trình dưới dạng: \[ \frac{x-1}{4} = \frac{y}{-2} = \frac{z+2}{-6} \] Ta nhận thấy rằng véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ có dạng \((4, -2, -6)\). Do đó, véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \vec{u} = (4, -2, -6) \] Đáp số: \(\vec{u} = (4, -2, -6)\).