???????????

Câu 8. Phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I(0;-2;1)$ và bán kính $R=5$ được viết dưới dạng: \[ (x - 0)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 5^2 \] Tính toán ta có: \[ x^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 25 \] Do đó, phương trình của mặt cầu (S) là: \[ x^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 25 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~x^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 25 \] Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Bước 1: Áp dụng tính chất của logarit để biến đổi biểu thức: \[ \log_3(27a) - \log_3(a) \] Bước 2: Sử dụng tính chất logarit \(\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)\): \[ \log_3(27a) = \log_3(27) + \log_3(a) \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \log_3(27) + \log_3(a) - \log_3(a) \] Bước 4: Các logarit \(\log_3(a)\) triệt tiêu nhau: \[ \log_3(27) \] Bước 5: Biết rằng \(27 = 3^3\), nên: \[ \log_3(27) = \log_3(3^3) = 3 \] Vậy, \(\log_3(27a) - \log_3(a) = 3\). Đáp án đúng là: C. 3. Câu 10. Để giải bất phương trình $\log_2(x-1) < 3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_2(x-1)$, ta cần đảm bảo rằng $x-1 > 0$. Do đó: \[ x > 1 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_2(x-1) < 3$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của lôgarit: \[ \log_2(x-1) < \log_2(2^3) \] - Điều này tương đương với: \[ \log_2(x-1) < \log_2(8) \] - Vì hàm lôgarit cơ sở 2 là hàm đồng biến, nên ta có: \[ x-1 < 8 \] - Giải bất phương trình này: \[ x < 9 \] 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 1$ và kết quả từ bước 2 ($x < 9$), ta có: \[ 1 < x < 9 \] - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ (1; 9) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~(1;9) \] Câu 11. Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu tiên $u_1 = 3$ và công sai $d = 3$. Số hạng thứ hai của cấp số cộng $(u_n)$ là: \[ u_2 = u_1 + d \] Thay các giá trị vào công thức: \[ u_2 = 3 + 3 = 6 \] Vậy số hạng thứ hai của cấp số cộng là 6. Đáp án đúng là: A. 6. Câu 12. Để tính thể tích của khối chóp S.ABCD, ta sử dụng công thức tính thể tích của khối chóp: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Trong đó: - Diện tích đáy là diện tích của hình vuông ABCD. - Chiều cao là khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy ABCD, tức là chiều dài đoạn thẳng SA. Bước 1: Tính diện tích đáy ABCD. Hình vuông ABCD có cạnh bằng 2, nên diện tích đáy là: \[ \text{Diện tích đáy} = 2 \times 2 = 4 \] Bước 2: Xác định chiều cao của khối chóp. Chiều cao của khối chóp là SA, và theo đề bài, SA = 3. Bước 3: Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Áp dụng công thức thể tích: \[ V = \frac{1}{3} \times 4 \times 3 = 4 \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là: \[ V = 4 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~V=4 \] Câu 1. a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=4\sin2x+2.$ Đúng vì $f(x)=4\sin x\cos x+2x=2\sin2x+2x$. Do đó, $f^\prime(x)=4\cos2x+2$. b) Hàm số $y=f(x)$ có 4 điểm cực trị thuộc $[-\pi;\pi].$ Để tìm các điểm cực trị của hàm số $f(x)$, ta cần giải phương trình $f^\prime(x)=0$: \[4\cos2x+2=0 \Rightarrow \cos2x=-\frac{1}{2}\] Các nghiệm của phương trình này trong khoảng $[-\pi,\pi]$ là: \[2x=\pm\frac{2\pi}{3}+k\pi \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\] Trong khoảng $[-\pi,\pi]$, các giá trị của $x$ thỏa mãn là: \[x=-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\] Vậy hàm số có 4 điểm cực trị trong khoảng $[-\pi,\pi]$. c) Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-2;-1).$ Ta xét dấu của đạo hàm $f^\prime(x)=4\cos2x+2$ trên khoảng $(-2;-1)$: - Khi $x\in(-2;-1)$, ta có $2x\in(-4;-2)$. - Trong khoảng này, $\cos2x$ luôn dương vì $2x$ nằm trong khoảng $(-\pi,0)$, do đó $4\cos2x+2>0$. Vậy hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-2;-1)$. d) Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0;\frac{\pi}{2}]$ là $\frac{2\pi}{3}+\sqrt{3}.$ Ta xét giá trị của hàm số tại các điểm biên và các điểm cực trị trong khoảng $[0,\frac{\pi}{2}]$: - Tại $x=0$: $f(0)=4\sin0\cos0+2\times0=0$ - Tại $x=\frac{\pi}{2}$: $f(\frac{\pi}{2})=4\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}+2\times\frac{\pi}{2}=0+\pi=\pi$ - Ta cũng cần kiểm tra giá trị tại điểm cực trị gần nhất trong khoảng này, đó là $x=\frac{\pi}{6}$: \[f(\frac{\pi}{6})=4\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}+2\times\frac{\pi}{6}=4\times\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}+\frac{\pi}{3}\] So sánh các giá trị: - $f(0)=0$ - $f(\frac{\pi}{2})=\pi$ - $f(\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}+\frac{\pi}{3}$ Giá trị lớn nhất là $\pi$ (tại $x=\frac{\pi}{2}$). Vậy giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0,\frac{\pi}{2}]$ là $\pi$. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu của đề bài. Phần a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180m. 1. Tìm vận tốc ban đầu của ô tô: - Ban đầu, ô tô có tốc độ là 36 km/h. - Đổi sang đơn vị m/s: \[ v_0 = 36 \times \frac{1000}{3600} = 10 \text{ m/s} \] 2. Tìm vận tốc của ô tô sau 2 giây: - Thời gian tính từ khi bắt đầu tăng tốc là \( t = 2 \) giây. - Vận tốc sau 2 giây: \[ v(2) = a \cdot 2 + b \] 3. Tìm quãng đường ô tô đi được trong 2 giây đầu tiên: - Quãng đường ban đầu: \[ s_0 = v_0 \cdot 2 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ m} \] 4. Tìm vận tốc của ô tô sau 12 giây tăng tốc: - Thời gian tính từ khi bắt đầu tăng tốc là \( t = 12 \) giây. - Vận tốc sau 12 giây: \[ v(12) = a \cdot 12 + b \] 5. Tìm quãng đường ô tô đi được trong 12 giây tăng tốc: - Quãng đường trong 12 giây: \[ s_{12} = \int_{0}^{12} (at + b) \, dt = \left[ \frac{a}{2}t^2 + bt \right]_{0}^{12} = \frac{a}{2} \cdot 12^2 + b \cdot 12 = 72a + 12b \] 6. Tổng quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn: - Tổng quãng đường: \[ s_{total} = s_0 + s_{12} = 20 + 72a + 12b \] - Theo đề bài, tổng quãng đường là 180m: \[ 20 + 72a + 12b = 180 \] \[ 72a + 12b = 160 \] \[ 6a + b = \frac{160}{12} = \frac{40}{3} \] Phần b) Vận tốc của ô tô tại thời điểm nhập làn là 72 km/h. 1. Tìm vận tốc của ô tô sau 12 giây tăng tốc: - Đổi vận tốc 72 km/h sang m/s: \[ v_{12} = 72 \times \frac{1000}{3600} = 20 \text{ m/s} \] - Vận tốc sau 12 giây: \[ v(12) = a \cdot 12 + b = 20 \] 2. Giải hệ phương trình: - Ta có hai phương trình: \[ 6a + b = \frac{40}{3} \] \[ 12a + b = 20 \] - Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: \[ (12a + b) - (6a + b) = 20 - \frac{40}{3} \] \[ 6a = 20 - \frac{40}{3} = \frac{60}{3} - \frac{40}{3} = \frac{20}{3} \] \[ a = \frac{20}{3} \div 6 = \frac{20}{18} = \frac{10}{9} \] - Thay \( a = \frac{10}{9} \) vào phương trình \( 6a + b = \frac{40}{3} \): \[ 6 \cdot \frac{10}{9} + b = \frac{40}{3} \] \[ \frac{60}{9} + b = \frac{40}{3} \] \[ \frac{20}{3} + b = \frac{40}{3} \] \[ b = \frac{40}{3} - \frac{20}{3} = \frac{20}{3} \] Phần c) Quãng đường mà ô tô đi được trong thời gian 30 giây kể từ khi ô tô cách điểm nhập làn 200m là 620m. 1. Tìm quãng đường ô tô đi được trong 24 giây tiếp theo: - Thời gian tính từ khi bắt đầu tăng tốc là \( t = 24 \) giây. - Vận tốc sau 24 giây: \[ v(24) = a \cdot 24 + b = \frac{10}{9} \cdot 24 + \frac{20}{3} = \frac{240}{9} + \frac{60}{9} = \frac{300}{9} = \frac{100}{3} \text{ m/s} \] - Quãng đường trong 24 giây: \[ s_{24} = \int_{0}^{24} \left( \frac{10}{9}t + \frac{20}{3} \right) \, dt = \left[ \frac{10}{18}t^2 + \frac{20}{3}t \right]_{0}^{24} = \frac{5}{9} \cdot 24^2 + \frac{20}{3} \cdot 24 = \frac{5}{9} \cdot 576 + \frac{20}{3} \cdot 24 = 320 + 160 = 480 \text{ m} \] 2. Tổng quãng đường trong 30 giây: - Tổng quãng đường: \[ s_{total} = s_0 + s_{12} + s_{24} = 20 + 180 + 480 = 680 \text{ m} \] Phần d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong vòng 5s thì phát hiện chướng ngại vật cách đó 300m, người điều khiển lập tức đạp phanh và ô tô chuyển động chậm dần đều với \( a(t) = -3 \text{ m/s}^2 \). Khi đó ô tô dừng lại cách chướng ngại vật 10m. 1. Tìm vận tốc của ô tô sau 24 giây tăng tốc: - Vận tốc sau 24 giây: \[ v_{24} = \frac{100}{3} \text{ m/s} \] 2. Tìm quãng đường ô tô đi được trong 5 giây tiếp theo: - Thời gian tính từ khi bắt đầu tăng tốc là \( t = 29 \) giây. - Vận tốc sau 29 giây: \[ v_{29} = \frac{100}{3} \text{ m/s} \] - Quãng đường trong 5 giây: \[ s_{5} = v_{24} \cdot 5 = \frac{100}{3} \cdot 5 = \frac{500}{3} \approx 166.67 \text{ m} \] 3. Tổng quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi phát hiện chướng ngại vật: - Tổng quãng đường: \[ s_{total} = s_0 + s_{12} + s_{24} + s_{5} = 20 + 180 + 480 + 166.67 = 846.67 \text{ m} \] 4. Tìm quãng đường còn lại để đến chướng ngại vật: - Quãng đường còn lại: \[ s_{remaining} = 300 - 10 = 290 \text{ m} \] 5. Tìm thời gian để ô tô dừng lại: - Vận tốc ban đầu khi đạp phanh: \[ v_{initial} = \frac{100}{3} \text{ m/s} \] - Vận tốc cuối cùng: \[ v_{final} = 0 \text{ m/s} \] - Thời gian để dừng lại: \[ t = \frac{v_{initial}}{a} = \frac{\frac{100}{3}}{3} = \frac{100}{9} \approx 11.11 \text{ s} \] 6. Tìm quãng đường ô tô đi được trong thời gian dừng lại: - Quãng đường trong thời gian dừng lại: \[ s_{stop} = \frac{v_{initial}^2}{2a} = \frac{\left(\frac{100}{3}\right)^2}{2 \cdot 3} = \frac{\frac{10000}{9}}{6} = \frac{10000}{54} \approx 185.19 \text{ m} \] 7. Tổng quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi dừng lại: - Tổng quãng đường: \[ s_{total} = 846.67 + 185.19 = 1031.86 \text{ m} \] Kết luận: - Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180m. - Vận tốc của ô tô tại thời điểm nhập làn là 72 km/h. - Quãng đường mà ô tô đi được trong thời gian 30 giây kể từ khi ô tô cách điểm nhập làn 200m là 620m. - Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong vòng 5s thì phát hiện chướng ngại vật cách đó 300m, người điều khiển lập tức đạp phanh và ô tô chuyển động chậm dần đều với \( a(t) = -3 \text{ m/s}^2 \). Khi đó ô tô dừng lại cách chướng ngại vật 10m. Đáp số: a) 180m b) 72 km/h c) 620m d) 10m Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính toán tỉ lệ thực sự của người hâm mộ MU sẽ xem trận đấu dựa trên kết quả phỏng vấn và tỉ lệ thực tế đã cho. Bước 1: Xác định số người trả lời "sẽ xem" và "sẽ không xem". - Số người trả lời "sẽ xem": 75 người. - Số người trả lời "sẽ không xem": 25 người. Bước 2: Áp dụng tỉ lệ thực tế để tính số người thực sự xem trận đấu. - Tỉ lệ người thực sự xem trong nhóm trả lời "sẽ xem": 80%. - Tỉ lệ người thực sự xem trong nhóm trả lời "sẽ không xem": 20%. Bước 3: Tính số người thực sự xem từ mỗi nhóm. - Số người thực sự xem từ nhóm "sẽ xem": \[ 75 \times 0.8 = 60 \text{ người} \] - Số người thực sự xem từ nhóm "sẽ không xem": \[ 25 \times 0.2 = 5 \text{ người} \] Bước 4: Tổng số người thực sự xem trận đấu. \[ 60 + 5 = 65 \text{ người} \] Bước 5: Tính tỉ lệ phần trăm người thực sự xem trận đấu so với tổng số người được phỏng vấn. \[ \frac{65}{100} \times 100\% = 65\% \] Vậy, tỉ lệ người hâm mộ MU thực sự xem trận đấu là 65%.