Giúp tớ với

Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Viết và rút gọn biểu thức với số mũ hữu tỉ: Biểu thức ban đầu là: \[ A = \left( \frac{2}{1009} \right)^{\log_2 \frac{1}{16}} \] 2. Tính giá trị của \(\log_2 \frac{1}{16}\): Ta biết rằng: \[ \frac{1}{16} = 2^{-4} \] Do đó: \[ \log_2 \frac{1}{16} = \log_2 (2^{-4}) = -4 \] 3. Thay giá trị vào biểu thức: Biểu thức trở thành: \[ A = \left( \frac{2}{1009} \right)^{-4} \] 4. Rút gọn biểu thức: Ta biết rằng: \[ \left( \frac{2}{1009} \right)^{-4} = \left( \frac{1009}{2} \right)^{4} \] 5. Tìm số mũ của biểu thức rút gọn: Số mũ của biểu thức rút gọn là 4. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{4} \] Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết biểu thức cụ thể mà giá trị của nó được yêu cầu. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ giả sử rằng biểu thức liên quan đến các giá trị số học cơ bản. Giả sử biểu thức là \( x \). Ta có các lựa chọn: A. 4 B. \(\frac{1}{4}\) C. \(\frac{1}{8}\) D. -4 Chúng ta cần kiểm tra từng giá trị để xác định giá trị nào đúng. 1. Kiểm tra giá trị \( x = 4 \): - Nếu \( x = 4 \), thì biểu thức sẽ là 4. 2. Kiểm tra giá trị \( x = \frac{1}{4} \): - Nếu \( x = \frac{1}{4} \), thì biểu thức sẽ là \(\frac{1}{4}\). 3. Kiểm tra giá trị \( x = \frac{1}{8} \): - Nếu \( x = \frac{1}{8} \), thì biểu thức sẽ là \(\frac{1}{8}\). 4. Kiểm tra giá trị \( x = -4 \): - Nếu \( x = -4 \), thì biểu thức sẽ là -4. Vì không có thông tin thêm về biểu thức cụ thể, chúng ta sẽ dựa vào các lựa chọn đã cho để xác định giá trị đúng. Giả sử biểu thức là \( x \), và giá trị của biểu thức là một trong các lựa chọn trên. Do đó, giá trị của biểu thức có thể là bất kỳ giá trị nào trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, nếu chúng ta cần chọn một giá trị cụ thể, chúng ta sẽ chọn giá trị đầu tiên trong danh sách lựa chọn, đó là 4. Đáp án: A. 4. Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi phương trình đã cho. Phương trình ban đầu là: \[ \log_2 \sqrt{a} - \log_2 b = 3 \] Áp dụng tính chất của logarit: \[ \log_2 \left( \frac{\sqrt{a}}{b} \right) = 3 \] Biến đổi về dạng số mũ: \[ \frac{\sqrt{a}}{b} = 2^3 \] \[ \frac{\sqrt{a}}{b} = 8 \] Nhân cả hai vế với \( b \): \[ \sqrt{a} = 8b \] Vậy khẳng định đúng là: \[ \frac{\sqrt{a}}{b} = 8 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~\frac{\sqrt{a}}{b} = 8 \] Đáp số: \( D.~\frac{\sqrt{a}}{b} = 8 \) Câu 8: Để tính giá trị của biểu thức \( P = 2^{\log_2 a} + \log_a (a^b) \) với điều kiện \( a > 0 \) và \( a \neq 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính giá trị của \( 2^{\log_2 a} \): - Theo tính chất của lôgarit, ta có \( 2^{\log_2 a} = a \). 2. Tính giá trị của \( \log_a (a^b) \): - Theo tính chất của lôgarit, ta có \( \log_a (a^b) = b \). 3. Tổng hợp lại biểu thức \( P \): - Biểu thức \( P \) trở thành \( P = a + b \). Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \( a + b \). Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~P = a + b. \] Đáp số: \( D.~P = a + b. \) Câu 9: Để kiểm tra tính đúng đắn của các mệnh đề, ta sẽ áp dụng các công thức cơ bản của logarit. A. $\log_3(ab) = \log_3a + \log_3b$ Theo công thức logarit tổng, ta có: \[ \log_3(ab) = \log_3a + \log_3b \] Mệnh đề này đúng. B. $\log_ab = \frac{\log_{2022}b}{\log_{2022}a}$ Theo công thức đổi cơ số của logarit, ta có: \[ \log_ab = \frac{\log_{2022}b}{\log_{2022}a} \] Mệnh đề này đúng. C. $1 - \log_ab = \log_a\frac{a}{b}$ Ta biết rằng: \[ 1 = \log_aa \] Do đó: \[ 1 - \log_ab = \log_aa - \log_ab = \log_a\left(\frac{a}{b}\right) \] Mệnh đề này đúng. D. $\log_ab^3 = \frac{1}{3}\log_ab$ Theo công thức lũy thừa của logarit, ta có: \[ \log_ab^3 = 3\log_ab \] Mệnh đề này sai vì nó đã viết thành $\frac{1}{3}\log_ab$, trong khi theo công thức đúng phải là $3\log_ab$. Vậy mệnh đề sai là: \[ \boxed{D} \] Câu 10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi phương trình đã cho. Phương trình ban đầu là: \[ \log a + 2 \log b = 1 \] Áp dụng tính chất của logarit, ta có: \[ \log a + \log b^2 = 1 \] Sử dụng tính chất tổng của logarit, ta có: \[ \log (a \cdot b^2) = 1 \] Biến đổi về dạng số mũ, ta có: \[ a \cdot b^2 = 10^1 \] \[ a \cdot b^2 = 10 \] Do đó, mệnh đề đúng là: \[ C.~ab^2=10 \] Đáp án: C. \( ab^2 = 10 \). Câu 11: [MĐ2] Biết $a=\log_23,~b=\log_35$ Tính $\log_25$ theo a và b Ta có: \[ \log_2 5 = \frac{\log_3 5}{\log_3 2} \] Biết rằng: \[ \log_3 5 = b \] \[ \log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{a} \] Do đó: \[ \log_2 5 = \frac{b}{\frac{1}{a}} = ab \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\log_25=ab \] [MĐ1] Tìm tập xác định của hàm số $y=\log_2(x-1)$ Để hàm số $y = \log_2(x - 1)$ có nghĩa, ta cần: \[ x - 1 > 0 \] \[ x > 1 \] Tập xác định của hàm số là: \[ D = (1; +\infty) \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~D=(1;+\infty) \] Câu 12: Để xác định hàm số nào nghịch biến trên tập số thực \( D \), chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số. A. \( y = \left(\frac{2}{\pi}\right)^x \) - Đây là hàm số mũ với cơ số \( \frac{2}{\pi} \). Vì \( \frac{2}{\pi} < 1 \), hàm số này nghịch biến trên tập số thực \( D \). B. \( y = \left(\frac{\pi}{3}\right)^x \) - Đây cũng là hàm số mũ với cơ số \( \frac{\pi}{3} \). Vì \( \frac{\pi}{3} > 1 \), hàm số này đồng biến trên tập số thực \( D \). C. \( y = \log_{\pi}(4x^2 + 1) \) - Đây là hàm số logarit với cơ số \( \pi \). Vì \( \pi > 1 \), hàm số này đồng biến trên tập số thực \( D \). D. \( y = \log_{\frac{1}{3}}x \) - Đây là hàm số logarit với cơ số \( \frac{1}{3} \). Vì \( \frac{1}{3} < 1 \), hàm số này nghịch biến trên tập số thực \( D \). Từ đó, chúng ta thấy rằng các hàm số nghịch biến trên tập số thực \( D \) là: - \( y = \left(\frac{2}{\pi}\right)^x \) - \( y = \log_{\frac{1}{3}}x \) Vậy đáp án đúng là: A. \( y = \left(\frac{2}{\pi}\right)^x \) D. \( y = \log_{\frac{1}{3}}x \) Đáp án: A và D. Câu 13: Để xác định hàm số đồng biến trên tập xác định của nó, ta cần kiểm tra tính chất của từng hàm số đã cho. A. \( y = 2^{-x} \) Hàm số này có dạng \( y = a^x \) với \( a = \frac{1}{2} \). Vì \( 0 < a < 1 \), hàm số này nghịch biến trên tập xác định của nó. B. \( y = \log_{\frac{\pi}{2}} x \) Hàm số này có dạng \( y = \log_a x \) với \( a = \frac{\pi}{2} \). Vì \( a > 1 \), hàm số này đồng biến trên tập xác định của nó. C. \( y = \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right)^x \) Hàm số này có dạng \( y = a^x \) với \( a = \frac{\sqrt{5}}{3} \). Vì \( 0 < a < 1 \), hàm số này nghịch biến trên tập xác định của nó. D. \( y = \log_{\frac{1}{s}} x \) Hàm số này có dạng \( y = \log_a x \) với \( a = \frac{1}{s} \). Để xác định tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số này, ta cần biết giá trị của \( s \). Nếu \( s > 1 \), thì \( 0 < \frac{1}{s} < 1 \) và hàm số này nghịch biến trên tập xác định của nó. Nếu \( 0 < s < 1 \), thì \( \frac{1}{s} > 1 \) và hàm số này đồng biến trên tập xác định của nó. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có hàm số \( y = \log_{\frac{\pi}{2}} x \) chắc chắn đồng biến trên tập xác định của nó vì \( \frac{\pi}{2} > 1 \). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B} \] Câu 14: Để xác định hàm số của đồ thị, chúng ta sẽ dựa vào các đặc điểm của đồ thị và tính chất của các hàm số cơ bản. 1. Phát hiện dạng đồ thị: Đồ thị có dạng cong và có hai nhánh đối xứng qua trục y. Điều này gợi ý rằng hàm số có thể là một hàm bậc hai hoặc hàm số lượng giác. 2. Kiểm tra các điểm đặc biệt: - Đồ thị đi qua điểm (0, 1). Điều này loại trừ các hàm số như \(y = x^2\) vì \(x = 0\) thì \(y = 0\). - Đồ thị có hai nhánh đối xứng qua trục y, điều này gợi ý rằng hàm số có thể là \(y = \cos(x)\) hoặc \(y = \sin(x)\). 3. Kiểm tra giá trị tại các điểm khác: - Tại \(x = \frac{\pi}{2}\), giá trị của hàm số là 0. Điều này phù hợp với hàm số \(y = \cos(x)\) vì \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\). - Tại \(x = \pi\), giá trị của hàm số là -1. Điều này cũng phù hợp với hàm số \(y = \cos(x)\) vì \(\cos(\pi) = -1\). 4. Kết luận: Dựa trên các đặc điểm trên, đồ thị của hàm số là \(y = \cos(x)\). Vậy đáp án đúng là: \[ y = \cos(x) \] Đáp số: \( y = \cos(x) \)