Jjshsjhshshshs Câu 11: Ông Nam có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16,m và độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dài,đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình,,vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng $/~1~m^2.$ Hỏi ông,Nam cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được,làm tròn đến hàng nghìn).

Question

Jjshsjhshshshs Câu 11: Ông Nam có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16,m và độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dài,đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/18eeee9bebdd45108687cdc74d167a25.jpg />,vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng $/~1~m^2.$ Hỏi ông,Nam cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được,làm tròn đến hàng nghìn).

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5412723,"userName":"Thao Nhi"}

- Độ dài trục lớn $2a = 16 \Rightarrow a = 8$ m.

- Độ dài trục bé $2b = 10 \Rightarrow b = 5$ m.

- Phương trình elip với trục đối xứng là trục bé:

$\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{25} = 1$

- Dải đất rộng 8 m và đối xứng qua trục bé, nên giới hạn bởi hai đường thẳng song song cách trục bé 4 m ($x = \pm4$).

- Giải phương trình elip để tìm giao điểm với $x = 4$:

$\frac{16}{64} + \frac{y^2}{25} = 1 \Rightarrow y^2 = \frac{75}{4} \Rightarrow y = \pm\frac{5\sqrt{3}}{2}$

- Diện tích phần elip giữa $x = -4$ và $x = 4$:

$A = 2 \int_{-4}^{4} \frac{5}{8} \sqrt{64 - x^2} \, dx = \frac{5}{4} \int_{-4}^{4} \sqrt{64 - x^2} \, dx$

Đặt $x = 8\sin t$, ta có:

$A = \frac{5}{4} \times 64 \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \cos^2 t \, dt = 80 \left[ \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} \right]_{-\pi/6}^{\pi/6} = 80 \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} \right)$

- Diện tích dải đất:

$A_{\text{dải}} = 8 \times 10 - A \approx 80 - 80 \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \approx 80 - 41.89 \approx 38.11 \text{ m}^2$

- Kinh phí = $38.11 \times 100,\!000 \approx 3,\!811,\!000$ đồng.

- Làm tròn: 3,811,000 đồng.

Timi · Answer

Câu 11:
Để tính diện tích dải đất mà ông Nam muốn trồng hoa, ta cần xác định diện tích của phần hình elip nằm trong dải đất rộng 8 m.

1. Xác định bán kính trục lớn và trục bé của elip:
   - Độ dài trục lớn là 16 m, vậy bán kính trục lớn $a$ là:
     $$
     a = \frac{16}{2} = 8 \text{ m}
     $$
   - Độ dài trục bé là 10 m, vậy bán kính trục bé $b$ là:
     $$
     b = \frac{10}{2} = 5 \text{ m}
     $$

2. Phương trình của elip:
   Elip có tâm ở gốc tọa độ (0,0) và trục lớn nằm trên trục Ox, trục bé nằm trên trục Oy. Phương trình của elip là:
   $$
   \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
   $$
   Thay $a = 8$ và $b = 5$:
   $$
   \frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{25} = 1
   $$

3. Diện tích dải đất:
   Dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng, tức là dải đất nằm giữa hai đường thẳng $x = -4$ và $x = 4$.

Diện tích dải đất này có thể tính bằng cách lấy diện tích toàn bộ elip chia đôi (vì dải đất nằm giữa trục bé) rồi nhân với chiều rộng của dải đất.

Diện tích toàn bộ elip là:
   $$
   S_{elip} = \pi \cdot a \cdot b = \pi \cdot 8 \cdot 5 = 40\pi \text{ m}^2
   $$

Diện tích dải đất là:
   $$
   S_{dải đất} = \frac{1}{2} \cdot 40\pi \cdot \frac{8}{16} = 20\pi \text{ m}^2
   $$

4. Chi phí trồng hoa:
   Chi phí để trồng hoa là 100.000 đồng/m². Vậy chi phí để trồng hoa trên dải đất là:
   $$
   \text{Chi phí} = 20\pi \times 100.000 \approx 628.320 \text{ đồng}
   $$

Làm tròn đến hàng nghìn:
   $$
   \text{Chi phí} \approx 628.000 \text{ đồng}
   $$

Đáp số: Ông Nam cần khoảng 628.000 đồng để trồng hoa trên dải đất đó.