giải giúp em ạ Câu 14. Hàm số $y=\frac x{x-2}$ có đạo hàm cấp hai là:

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5407220,"userName":"Apple_Y5FEU1aDuHVzuE7wz1MBj7Hn2tx1"}

$y = \frac{x}{x-2}$

Tính đạo hàm bậc nhất:

$y' = \frac{1(x-2) - x(1)}{(x-2)^2} = \frac{x-2-x}{(x-2)^2} = \frac{-2}{(x-2)^2} = -2(x-2)^{-2}$

Tính đạo hàm bậc hai:

$y'' = -2(-2)(x-2)^{-3} = 4(x-2)^{-3} = \frac{4}{(x-2)^3}$

Vậy $y'' = \frac{4}{(x-2)^3}$.

Timi · Answer

Câu 14.
Để tìm đạo hàm cấp hai của hàm số $ y = \frac{x}{x-2} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm cấp một của hàm số $ y = \frac{x}{x-2} $.

Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số $ \left( \frac{u}{v} \right)&#x27; = \frac{u&#x27;v - uv&#x27;}{v^2} $:

- $ u = x \Rightarrow u&#x27; = 1 $
- $ v = x - 2 \Rightarrow v&#x27; = 1 $

Do đó:
$$ y&#x27; = \left( \frac{x}{x-2} \right)&#x27; = \frac{(x)&#x27;(x-2) - x(x-2)&#x27;}{(x-2)^2} = \frac{1 \cdot (x-2) - x \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x - 2 - x}{(x-2)^2} = \frac{-2}{(x-2)^2} $$

Bước 2: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số $ y&#x27; = \frac{-2}{(x-2)^2} $.

Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số $ \left( \frac{u}{v} \right)&#x27; = \frac{u&#x27;v - uv&#x27;}{v^2} $:

- $ u = -2 \Rightarrow u&#x27; = 0 $
- $ v = (x-2)^2 \Rightarrow v&#x27; = 2(x-2) $

Do đó:
$$ y&#x27;&#x27; = \left( \frac{-2}{(x-2)^2} \right)&#x27; = \frac{(-2)&#x27;(x-2)^2 - (-2)((x-2)^2)&#x27;}{((x-2)^2)^2} = \frac{0 \cdot (x-2)^2 - (-2) \cdot 2(x-2)}{(x-2)^4} = \frac{4(x-2)}{(x-2)^4} = \frac{4}{(x-2)^3} $$

Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số $ y = \frac{x}{x-2} $ là:
$$ y&#x27;&#x27; = \frac{4}{(x-2)^3} $$