Cứu tui vứoi

Câu 4: Ta có thể tích của lăng trụ tam giác đều là: \[ V = S_{\text{đáy}} \times h \] Trong đó \( S_{\text{đáy}} \) là diện tích đáy và \( h \) là chiều cao của lăng trụ. Diện tích đáy của lăng trụ tam giác đều là: \[ S_{\text{đáy}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Chiều cao của lăng trụ tam giác đều là \( h \). Do đó, thể tích của lăng trụ tam giác đều là: \[ V = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times h \] Theo đề bài, thể tích của lăng trụ tam giác đều là \( 6\sqrt{3} \, \text{cm}^3 \): \[ \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times h = 6\sqrt{3} \] Để ít hao tốn vật liệu nhất, ta cần tối ưu hóa diện tích toàn phần của lăng trụ tam giác đều. Diện tích toàn phần của lăng trụ tam giác đều là: \[ S_{\text{toàn phần}} = 3ah + \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 \] Ta cần tìm giá trị của \( a \) và \( h \) sao cho diện tích toàn phần tối thiểu. Ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tối ưu hóa diện tích toàn phần. Từ phương trình thể tích: \[ \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times h = 6\sqrt{3} \] \[ a^2 \times h = 24 \] \[ h = \frac{24}{a^2} \] Thay vào diện tích toàn phần: \[ S_{\text{toàn phần}} = 3a \left( \frac{24}{a^2} \right) + \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 \] \[ S_{\text{toàn phần}} = \frac{72}{a} + \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 \] Đạo hàm \( S_{\text{toàn phần}} \) theo \( a \): \[ \frac{dS_{\text{toàn phần}}}{da} = -\frac{72}{a^2} + \sqrt{3} a \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị cực tiểu: \[ -\frac{72}{a^2} + \sqrt{3} a = 0 \] \[ \sqrt{3} a = \frac{72}{a^2} \] \[ \sqrt{3} a^3 = 72 \] \[ a^3 = \frac{72}{\sqrt{3}} \] \[ a^3 = 24\sqrt{3} \] \[ a = \sqrt[3]{24\sqrt{3}} \] Vậy độ dài các cạnh bên của khối lăng trụ tam giác đều là: \[ a = \sqrt[3]{24\sqrt{3}} \] Câu 5: Diện tích trang sách là \( 486 \, \text{cm}^2 \). Giả sử chiều dài trang sách là \( l \) và chiều rộng trang sách là \( w \). Ta có: \[ l \times w = 486 \] Phần in chữ của trang sách có diện tích lớn nhất khi phần lề để trống là nhỏ nhất. Phần lề trên và dưới mỗi bên là 3 cm, phần lề trái và phải mỗi bên là 2 cm. Vậy phần lề để trống là: \[ 2 \times 3 + 2 \times 2 = 10 \, \text{cm}^2 \] Diện tích phần in chữ là: \[ l \times w - 10 \] Để diện tích phần in chữ lớn nhất, ta cần tối ưu hóa diện tích trang sách. Ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tối ưu hóa diện tích phần in chữ. Từ phương trình diện tích trang sách: \[ l \times w = 486 \] \[ w = \frac{486}{l} \] Diện tích phần in chữ là: \[ S_{\text{in chữ}} = l \times \left( \frac{486}{l} \right) - 10 \] \[ S_{\text{in chữ}} = 486 - 10 \] Vậy diện tích phần lề để trống là: \[ 10 \, \text{cm}^2 \] Câu 6: Ta có: \[ P(A) = 0,2 \] \[ P(B) = 0,6 \] \[ P(A|B) = 0,4 \] Tính \( P(A \cap B) \): \[ P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) \] \[ P(A \cap B) = 0,4 \times 0,6 \] \[ P(A \cap B) = 0,24 \] Tính \( P(\overline{A} \cap B) \): \[ P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) \] \[ P(\overline{A} \cap B) = 0,6 - 0,24 \] \[ P(\overline{A} \cap B) = 0,36 \] Vậy \( P(\overline{A} \cap B) = 0,36 \) Câu 3d: Ta có: \[ I = |3\overrightarrow{IK} + 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{IK} - \overrightarrow{KC}| \] \[ I = |2\overrightarrow{IK} + 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{KC}| \] Để tối ưu hóa \( I \), ta cần tìm điểm \( K \) sao cho \( I \) nhỏ nhất. Ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tối ưu hóa \( I \). Từ phương trình \( I \): \[ I = |2\overrightarrow{IK} + 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{KC}| \] Đạo hàm \( I \) theo \( K \): \[ \frac{dI}{dK} = 0 \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị cực tiểu: \[ 2\overrightarrow{IK} + 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{KC} = 0 \] Vậy điểm \( K \) là giao điểm của các vectơ \( \overrightarrow{IK} \), \( \overrightarrow{KB} \), và \( \overrightarrow{KC} \). Đáp số: \[ K = \text{giao điểm của các vectơ } \overrightarrow{IK}, \overrightarrow{KB}, \text{ và } \overrightarrow{KC} \]