Trả lời đúng hoặc sai

Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc xác suất tổng hợp và quy tắc xác suất điều kiện. Cụ thể, chúng ta sẽ tính xác suất của các trường hợp khác nhau và sau đó sử dụng chúng để tìm xác suất mong muốn. a) Xác suất để người đó thực sự nhiễm virus: - Số người nhiễm virus trong cộng đồng là 40 người. - Tổng số người trong cộng đồng là 2000 người. - Xác suất để người đó thực sự nhiễm virus là: \[ P(\text{nhiễm}) = \frac{40}{2000} = 0,02 = 2\% \] b) Xác suất để người đó có kết quả dương tính trong khi thực sự không nhiễm virus (dương tính giả): - Số người không nhiễm virus trong cộng đồng là \(2000 - 40 = 1960\) người. - Xác suất để người không nhiễm virus có kết quả dương tính là \(100\% - 98,4\% = 1,6\%\). - Xác suất để người đó có kết quả dương tính trong khi thực sự không nhiễm virus là: \[ P(\text{dương tính | không nhiễm}) = 0,016 \] \[ P(\text{không nhiễm}) = \frac{1960}{2000} = 0,98 \] \[ P(\text{dương tính giả}) = P(\text{dương tính | không nhiễm}) \times P(\text{không nhiễm}) = 0,016 \times 0,98 = 0,01568 = 1,568\% \] c) Xác suất để người đó khi làm xét nghiệm có kết quả dương tính: - Xác suất để người đó có kết quả dương tính khi thực sự nhiễm virus là 81,2%. - Xác suất để người đó có kết quả dương tính khi thực sự không nhiễm virus đã tính ở phần b là 1,568%. - Xác suất để người đó khi làm xét nghiệm có kết quả dương tính là: \[ P(\text{dương tính}) = P(\text{dương tính | nhiễm}) \times P(\text{nhiễm}) + P(\text{dương tính | không nhiễm}) \times P(\text{không nhiễm}) \] \[ P(\text{dương tính}) = 0,812 \times 0,02 + 0,01568 = 0,01624 + 0,01568 = 0,03192 = 3,192\% \] d) Xác suất người đó thực sự nhiễm virus khi nhận được kết quả dương tính: - Áp dụng quy tắc xác suất điều kiện: \[ P(\text{nhiễm | dương tính}) = \frac{P(\text{dương tính | nhiễm}) \times P(\text{nhiễm})}{P(\text{dương tính})} \] \[ P(\text{nhiễm | dương tính}) = \frac{0,812 \times 0,02}{0,03192} = \frac{0,01624}{0,03192} \approx 0,5088 \approx 50,88\% \] Vậy, các xác suất lần lượt là: a) 2% b) 1,568% c) 3,192% d) 50,88% Câu 4. a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của ngọn hải đăng trên là $(x-21)^2+(y-35)^2+(z-50)^2=16.$ b) Người đi biển coi là một điểm ở vị trí D(5121;658;0) thì có thể nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng trên. c) Ngọn Hải đăng phủ một vùng sáng trên mặt biển thì bán kính vùng sáng này là 3999,7 (làm tròn đến hàng phần mười của mét) giả sử yếu tố bị che khuất bởi địa hình là không đáng kể. d) Giả sử người đi biển coi là một điểm từ vị trí D(5121; 658; 0) di chuyển theo đường thẳng đến chân ngọn Hải đăng với tốc độ 7 hải lý/giờ; biết một hải lý bằng 1852 mét thì mất 5,28 phút (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) để đến điểm đầu tiên nhìn thấy được ánh sáng ngọn Hải đăng trên. Lập luận từng bước: a) Phương trình mặt cầu: - Tâm của mặt cầu là (21, 35, 50). - Bán kính của mặt cầu là 4 km = 4000 m. - Phương trình mặt cầu: $(x - 21)^2 + (y - 35)^2 + (z - 50)^2 = 4000^2$. b) Người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng: - Tính khoảng cách từ D(5121, 658, 0) đến tâm (21, 35, 50): \[ \sqrt{(5121 - 21)^2 + (658 - 35)^2 + (0 - 50)^2} = \sqrt{5100^2 + 623^2 + 50^2} = \sqrt{26010000 + 388129 + 2500} = \sqrt{26400629} \approx 5138.2 \text{ m} \] - Vì khoảng cách này nhỏ hơn 4000 m, nên người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng. c) Bán kính vùng sáng trên mặt biển: - Bán kính vùng sáng trên mặt biển là bán kính của mặt phẳng cắt qua tâm (21, 35, 50) và z = 0. - Bán kính này là $\sqrt{4000^2 - 50^2} = \sqrt{16000000 - 2500} = \sqrt{15997500} \approx 3999.7 \text{ m}$. d) Thời gian di chuyển: - Khoảng cách từ D(5121, 658, 0) đến chân ngọn hải đăng (21, 35, 0): \[ \sqrt{(5121 - 21)^2 + (658 - 35)^2} = \sqrt{5100^2 + 623^2} = \sqrt{26010000 + 388129} = \sqrt{26400629} \approx 5138.2 \text{ m} \] - Tốc độ di chuyển: 7 hải lý/giờ = 7 1852 m/giờ = 12964 m/giờ. - Thời gian di chuyển: $\frac{5138.2}{12964} \times 60 \approx 5.28 \text{ phút}$. Đáp số: a) $(x - 21)^2 + (y - 35)^2 + (z - 50)^2 = 16000000$ b) Có thể nhìn thấy ánh sáng. c) 3999.7 m d) 5.28 phút