Giải giúp mình môn toán

Câu 3. Để xác định tính đúng - sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ kiểm tra từng biến cố và xác suất của chúng. Biến cố A: A: "Viên bi được chọn đánh số là 13". - Có 1 viên bi đánh số 13 trong tổng số 15 viên bi. - Xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{1}{15} \] Biến cố B: B: "Viên bi được chọn đánh số chẵn". - Các số chẵn từ 1 đến 15 là: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14. - Số lượng các số chẵn là 7. - Xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{7}{15} \] Biến cố C: C: "Viên bi được chọn ghi số chia hết cho 3". - Các số chia hết cho 3 từ 1 đến 15 là: 3, 6, 9, 12, 15. - Số lượng các số chia hết cho 3 là 5. - Xác suất của biến cố C là: \[ P(C) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \] Biến cố D: D: "Viên bi được chọn ghi số nguyên tố". - Các số nguyên tố từ 1 đến 15 là: 2, 3, 5, 7, 11, 13. - Số lượng các số nguyên tố là 6. - Xác suất của biến cố D là: \[ P(D) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \] Kiểm tra các mệnh đề: Mệnh đề a: \( P(A) + P(D) = \frac{3}{5} \) - Ta đã tính \( P(A) = \frac{1}{15} \) và \( P(D) = \frac{2}{5} \). - Tính tổng: \[ P(A) + P(D) = \frac{1}{15} + \frac{2}{5} = \frac{1}{15} + \frac{6}{15} = \frac{7}{15} \] - Kết luận: Mệnh đề a sai vì \( \frac{7}{15} \neq \frac{3}{5} \). Mệnh đề b: B và C là hai biến cố xung khắc. - Biến cố B: Viên bi được chọn đánh số chẵn. - Biến cố C: Viên bi được chọn ghi số chia hết cho 3. - Các số chẵn và chia hết cho 3 từ 1 đến 15 là: 6, 12. - Kết luận: B và C không phải là hai biến cố xung khắc vì có thể cùng xảy ra (ví dụ: viên bi ghi số 6 hoặc 12). Mệnh đề c: \( P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D) \) - \( C \cap D \) là biến cố "Viên bi được chọn ghi số chia hết cho 3 và là số nguyên tố". - Các số chia hết cho 3 và là số nguyên tố từ 1 đến 15 là: 3. - Số lượng các số thỏa mãn là 1. - Xác suất của biến cố \( C \cap D \) là: \[ P(C \cap D) = \frac{1}{15} \] - Xác suất của biến cố C là \( \frac{1}{3} \) và của biến cố D là \( \frac{2}{5} \). - Tích xác suất: \[ P(C) \cdot P(D) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15} \] - Kết luận: Mệnh đề c sai vì \( \frac{1}{15} \neq \frac{2}{15} \). Mệnh đề d: \( D = B \cup C \) - Biến cố \( B \cup C \) là biến cố "Viên bi được chọn ghi số chẵn hoặc chia hết cho 3". - Các số chẵn hoặc chia hết cho 3 từ 1 đến 15 là: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15. - Số lượng các số thỏa mãn là 10. - Biến cố D là "Viên bi được chọn ghi số nguyên tố": 2, 3, 5, 7, 11, 13. - Kết luận: Mệnh đề d sai vì \( B \cup C \) không bằng D. Đáp án: a) Sai b) Sai c) Sai d) Sai Câu 4. Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=3^x+x(x)=x.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai? $a)~f^\prime(x)=\frac{3^x+(x\ln3-1)}{x^2}$ $b)~f^\prime(x)=3^x\ln x.$ $c)~[f(x)-x(x)]^\prime=3^x+\ln3+3^x.$ $d)~s^\prime(x)-1.$ Câu trả lời: Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm số $f(x)$ và các biểu thức liên quan. a) Tính đạo hàm của $f(x)$: $f(x) = 3^x + x(x) = 3^x + x^2$ Tính đạo hàm từng phần: - Đạo hàm của $3^x$ là $3^x \ln 3$ - Đạo hàm của $x^2$ là $2x$ Vậy: $f'(x) = 3^x \ln 3 + 2x$ Mệnh đề a) nói rằng $f'(x) = \frac{3^x + (x \ln 3 - 1)}{x^2}$, điều này là sai vì đạo hàm thực tế là $3^x \ln 3 + 2x$. b) Mệnh đề b) nói rằng $f'(x) = 3^x \ln x$. Điều này cũng là sai vì đạo hàm thực tế là $3^x \ln 3 + 2x$, không phải $3^x \ln x$. c) Tính đạo hàm của $[f(x) - x(x)]$: $f(x) - x(x) = 3^x + x^2 - x^2 = 3^x$ Đạo hàm của $3^x$ là $3^x \ln 3$. Vậy: $[f(x) - x(x)]' = 3^x \ln 3$ Mệnh đề c) nói rằng $[f(x) - x(x)]' = 3^x + \ln 3 + 3^x$, điều này là sai vì đạo hàm thực tế là $3^x \ln 3$. d) Mệnh đề d) nói rằng $s'(x) = -1$. Vì không có thông tin về hàm số $s(x)$, chúng ta không thể xác định mệnh đề này là đúng hay sai. Kết luận: - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) không thể xác định vì thiếu thông tin về hàm số $s(x)$. Câu 5. Trước tiên, ta xác định hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều và B' cách đều A, B, C. Điều này cho thấy B' nằm trên đường thẳng vuông góc hạ từ B xuống mặt phẳng (ABC). Ta sẽ tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B'C và AB. 1. Xác định hình học: - Tam giác đều ABC có cạnh bằng 6. - B' cách đều A, B, C nên B' nằm trên đường thẳng vuông góc hạ từ B xuống mặt phẳng (ABC). 2. Tính khoảng cách từ B' đến mặt phẳng (ABC): - Vì B' cách đều A, B, C nên B' nằm trên đường thẳng vuông góc hạ từ B xuống mặt phẳng (ABC). Ta gọi giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng (ABC) là O. - Tam giác đều ABC có cạnh bằng 6, nên chiều cao của tam giác đều là $\frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. - B' cách đều A, B, C nên B' nằm trên đường thẳng vuông góc hạ từ B xuống mặt phẳng (ABC). Chiều cao của tam giác đều là 3√3, do đó khoảng cách từ B' đến mặt phẳng (ABC) cũng là 3√3. 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B'C và AB: - Ta cần tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng B'C và AB. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. - Ta có thể sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian: $d = \frac{|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$, trong đó $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng, và $\vec{w}$ là vectơ chỉ từ một điểm trên đường thẳng này đến một điểm trên đường thẳng kia. 4. Áp dụng công thức: - Ta có $\vec{u} = \overrightarrow{B'C}$, $\vec{v} = \overrightarrow{AB}$, và $\vec{w} = \overrightarrow{BC}$. - Tính $\vec{u} \times \vec{v}$ và $|\vec{u} \times \vec{v}|$. - Tính $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$. - Cuối cùng, tính khoảng cách $d$. Sau khi thực hiện các phép tính, ta có kết quả khoảng cách giữa hai đường thẳng B'C và AB là khoảng 4.24 (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số: 4.24 Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log(30 - x) < 2$, ta cần đảm bảo rằng $30 - x > 0$. Điều này dẫn đến: \[ x < 30 \] 2. Giải bất phương trình: - Bất phương trình $\log(30 - x) < 2$ có thể được viết lại dưới dạng: \[ 30 - x < 10^2 \] - Điều này tương đương với: \[ 30 - x < 100 \] - Do đó: \[ x > -70 \] 3. Tổng hợp điều kiện: - Kết hợp điều kiện từ bước 1 và bước 2, ta có: \[ -70 < x < 30 \] 4. Xác định các nghiệm nguyên: - Các số nguyên nằm trong khoảng $-70 < x < 30$ bao gồm các số từ $-69$ đến $29$. Số lượng các số nguyên trong khoảng này là: \[ 29 - (-69) + 1 = 29 + 69 + 1 = 99 \] Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log(30 - x) < 2$ là 99. Câu 7. Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{2x}{x + 7}$, ta sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = 2x \) - \( v = x + 7 \) Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): - \( u' = 2 \) - \( v' = 1 \) Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(2)(x + 7) - (2x)(1)}{(x + 7)^2} \] Rút gọn biểu thức ở tử số: \[ y' = \frac{2x + 14 - 2x}{(x + 7)^2} = \frac{14}{(x + 7)^2} \] So sánh với dạng đã cho \( y' = \frac{a}{(x + 7)^2} \), ta thấy \( a = 14 \). Vậy \( a + 2000 = 14 + 2000 = 2014 \). Đáp số: 2014 Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng công thức xác suất tổng và xác suất giao của hai sự kiện. Gọi: - \( A \) là sự kiện "học sinh biết chơi bóng đá". - \( B \) là sự kiện "học sinh biết chơi bóng chuyền". Theo đề bài: - \( P(A) = 0,30 \) - \( P(B) = 0,25 \) - \( P(A \cap B) = 0,10 \) Chúng ta cần tìm xác suất của sự kiện "học sinh không biết chơi một trong hai môn bóng đá hoặc bóng chuyền", tức là xác suất của sự kiện bù của \( A \cup B \). Bước 1: Tính xác suất của sự kiện \( A \cup B \) (sự kiện "học sinh biết chơi ít nhất một trong hai môn bóng đá hoặc bóng chuyền"). Theo công thức xác suất tổng: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(A \cup B) = 0,30 + 0,25 - 0,10 = 0,45 \] Bước 2: Tính xác suất của sự kiện bù của \( A \cup B \) (sự kiện "học sinh không biết chơi một trong hai môn bóng đá hoặc bóng chuyền"). Xác suất của sự kiện bù là: \[ P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B) \] Thay giá trị đã tính vào: \[ P((A \cup B)^c) = 1 - 0,45 = 0,55 \] Vậy xác suất để chọn được một học sinh không biết chơi một trong hai môn bóng đá, bóng chuyền là \( 0,55 \). Câu 4. Để tính đạo hàm của các hàm số đã cho, chúng ta sẽ áp dụng các công thức đạo hàm cơ bản. Câu a: \( y = \sin x + x^2 \) Bước 1: Tính đạo hàm của mỗi thành phần trong tổng. - Đạo hàm của \( \sin x \) là \( \cos x \). - Đạo hàm của \( x^2 \) là \( 2x \). Bước 2: Cộng các đạo hàm lại theo quy tắc đạo hàm của tổng. \[ y' = (\sin x)' + (x^2)' = \cos x + 2x \] Vậy đạo hàm của \( y = \sin x + x^2 \) là: \[ y' = \cos x + 2x \] Câu b: \( y = 5^0 \cdot (4x - 9) \) Bước 1: Nhận thấy rằng \( 5^0 = 1 \), nên hàm số trở thành: \[ y = 1 \cdot (4x - 9) = 4x - 9 \] Bước 2: Tính đạo hàm của \( 4x - 9 \). - Đạo hàm của \( 4x \) là \( 4 \). - Đạo hàm của hằng số \( -9 \) là \( 0 \). Bước 3: Cộng các đạo hàm lại theo quy tắc đạo hàm của tổng. \[ y' = (4x)' + (-9)' = 4 + 0 = 4 \] Vậy đạo hàm của \( y = 5^0 \cdot (4x - 9) \) là: \[ y' = 4 \] Đáp số: a. \( y' = \cos x + 2x \) b. \( y' = 4 \) Câu 5. a. Xác suất để cả hai máy đều bị kẹt giấy: Xác suất để máy I bị kẹt giấy là 0,05. Xác suất để máy II bị kẹt giấy là 0,16. Xác suất để cả hai máy đều bị kẹt giấy là: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,05 \times 0,16 = 0,008 \] b. Xác suất để có đúng một máy bị kẹt giấy: Xác suất để máy I bị kẹt giấy và máy II không bị kẹt giấy là: \[ P(A \cap \overline{B}) = P(A) \times (1 - P(B)) = 0,05 \times (1 - 0,16) = 0,05 \times 0,84 = 0,042 \] Xác suất để máy I không bị kẹt giấy và máy II bị kẹt giấy là: \[ P(\overline{A} \cap B) = (1 - P(A)) \times P(B) = (1 - 0,05) \times 0,16 = 0,95 \times 0,16 = 0,152 \] Xác suất để có đúng một máy bị kẹt giấy là: \[ P(\text{đúng một máy bị kẹt giấy}) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = 0,042 + 0,152 = 0,194 \] Đáp số: a. Xác suất để cả hai máy đều bị kẹt giấy là 0,008. b. Xác suất để có đúng một máy bị kẹt giấy là 0,194. Câu 6. Để tính thể tích của khối chóp cụt tứ giác đều, chúng ta cần biết diện tích đáy dưới, diện tích đáy trên và chiều cao của khối chóp cụt. Bước 1: Tính diện tích đáy dưới và đáy trên. - Diện tích đáy dưới (S1) là: \[ S_1 = 6 \times 6 = 36 \text{ m}^2 \] - Diện tích đáy trên (S2) là: \[ S_2 = 4 \times 4 = 16 \text{ m}^2 \] Bước 2: Tính chiều cao của khối chóp cụt. - Gọi chiều cao của khối chóp cụt là h. - Ta có hình chiếu của cạnh bên lên đáy dưới là đoạn thẳng nối giữa trung điểm của hai cạnh đáy dưới và đáy trên. Độ dài đoạn này là: \[ \frac{6 - 4}{2} = 1 \text{ m} \] - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông có cạnh huyền là cạnh bên (4m) và một cạnh góc vuông là đoạn thẳng trên (1m): \[ h = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15} \text{ m} \] Bước 3: Tính thể tích của khối chóp cụt. - Công thức tính thể tích của khối chóp cụt là: \[ V = \frac{1}{3} \times h \times (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \times S_2}) \] - Thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \sqrt{15} \times (36 + 16 + \sqrt{36 \times 16}) \] \[ V = \frac{1}{3} \times \sqrt{15} \times (36 + 16 + \sqrt{576}) \] \[ V = \frac{1}{3} \times \sqrt{15} \times (36 + 16 + 24) \] \[ V = \frac{1}{3} \times \sqrt{15} \times 76 \] \[ V = \frac{76 \sqrt{15}}{3} \text{ m}^3 \] Vậy thể tích của khối chóp cụt là: \[ \frac{76 \sqrt{15}}{3} \text{ m}^3 \]