hiyupppobvxvcdcfc

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định xem chúng đúng hay sai. Phát biểu a) \( SA \perp (ABC) \) - Vì \( (SAB) \perp (ABC) \) và \( (SAC) \perp (ABC) \), nên \( SA \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \( (SAB) \) và \( (SAC) \). Do đó, \( SA \) phải vuông góc với mặt phẳng \( (ABC) \). Phát biểu b) \( BC \perp (SAB) \) - \( BC \perp AB \) vì \( \triangle ABC \) là tam giác vuông cân tại \( B \). - \( SA \perp (ABC) \) suy ra \( SA \perp BC \). - Vậy \( BC \) vuông góc với cả hai đường thẳng \( AB \) và \( SA \) nằm trong mặt phẳng \( (SAB) \), do đó \( BC \perp (SAB) \). Phát biểu c) \( SA = a \) - \( \angle SBA = 60^\circ \) (góc giữa đường thẳng \( SB \) và mặt phẳng \( (ABC) \)). - \( \triangle SAB \) là tam giác vuông tại \( A \) (vì \( SA \perp (ABC) \)), do đó \( \sin 60^\circ = \frac{SA}{SB} \). - \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), vậy \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{SA}{SB} \). - \( AB = a \) (vì \( \triangle ABC \) là tam giác vuông cân tại \( B \)), do đó \( SB = 2a \) (vì \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} = \frac{AB}{SB} \)). - Thay vào ta có \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{SA}{2a} \Rightarrow SA = a\sqrt{3} \). Phát biểu d) \( d(A, (SBC)) = \frac{a\sqrt{3}}{3} \) - \( SA \perp (ABC) \) và \( BC \perp (SAB) \), do đó \( BC \perp SA \). - \( \triangle SBC \) là tam giác vuông tại \( B \), diện tích \( S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times BC = \frac{1}{2} \times 2a \times a = a^2 \). - Diện tích \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2} \). - Thể tích \( V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a\sqrt{3} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6} \). - Diện tích \( S_{SBC} = a^2 \), do đó khoảng cách từ \( A \) đến \( (SBC) \) là: \[ d(A, (SBC)) = \frac{3V_{SABC}}{S_{SBC}} = \frac{3 \times \frac{a^3\sqrt{3}}{6}}{a^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Như vậy, phát biểu d) là sai. Kết luận: - Phát biểu a) đúng. - Phát biểu b) đúng. - Phát biểu c) sai. - Phát biểu d) sai. Câu 2. a) Độ cao của viên đạn sau 10 giây: \[ s(10) = 2 + 106 \times 10 - 4,0 \times 10^2 = 2 + 1060 - 400 = 662 \text{ m} \] b) Vận tốc tức thời của viên đạn tại thời điểm t: \[ e(t) = s'(t) = 106 - 8,0t \] c) Vận tốc của viên đạn sau 20 giây: \[ e(20) = 106 - 8,0 \times 20 = 106 - 160 = -54 \text{ m/s} \] d) Độ cao lớn nhất viên đạn đạt được: Để tìm độ cao lớn nhất, ta cần tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của viên đạn bằng 0: \[ e(t) = 0 \] \[ 106 - 8,0t = 0 \] \[ 8,0t = 106 \] \[ t = \frac{106}{8,0} = 13,25 \text{ giây} \] Độ cao lớn nhất: \[ s(13,25) = 2 + 106 \times 13,25 - 4,0 \times (13,25)^2 \] \[ = 2 + 1406,5 - 4,0 \times 175,5625 \] \[ = 2 + 1406,5 - 702,25 \] \[ = 706,25 \text{ m} \] Đáp số: a) 662 m b) \( e(t) = 106 - 8,0t \) c) -54 m/s d) 706,25 m Câu 1 a) $\log(3x-2)=2$ Điều kiện: $3x - 2 > 0$ hay $x > \frac{2}{3}$ Phương trình tương đương: \[ 3x - 2 = 10^2 \] \[ 3x - 2 = 100 \] \[ 3x = 102 \] \[ x = 34 \] Kiểm tra điều kiện: $x = 34 > \frac{2}{3}$, thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là $x = 34$. b) $2^{x^2 - x + 8} \leq 4^{y - 3x}$ Điều kiện: Không có điều kiện riêng nào khác. Ta có: \[ 4^{y - 3x} = (2^2)^{y - 3x} = 2^{2(y - 3x)} \] Phương trình trở thành: \[ 2^{x^2 - x + 8} \leq 2^{2(y - 3x)} \] Do đó: \[ x^2 - x + 8 \leq 2(y - 3x) \] \[ x^2 - x + 8 \leq 2y - 6x \] \[ x^2 + 5x + 8 \leq 2y \] \[ y \geq \frac{x^2 + 5x + 8}{2} \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $y \geq \frac{x^2 + 5x + 8}{2}$. c) $\log_{\sqrt{2}}(x - 2) + \log_{0,5}(x + 28) = 0$ Điều kiện: \[ x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \] \[ x + 28 > 0 \Rightarrow x > -28 \] Tổng hợp lại ta có điều kiện: $x > 2$ Ta có: \[ \log_{\sqrt{2}}(x - 2) + \log_{0,5}(x + 28) = 0 \] \[ \log_{\sqrt{2}}(x - 2) = -\log_{0,5}(x + 28) \] \[ \log_{\sqrt{2}}(x - 2) = \log_{2}(x + 28) \] \[ \log_{2^{\frac{1}{2}}}(x - 2) = \log_{2}(x + 28) \] \[ 2\log_{2}(x - 2) = \log_{2}(x + 28) \] \[ \log_{2}((x - 2)^2) = \log_{2}(x + 28) \] \[ (x - 2)^2 = x + 28 \] \[ x^2 - 4x + 4 = x + 28 \] \[ x^2 - 5x - 24 = 0 \] \[ (x - 8)(x + 3) = 0 \] \[ x = 8 \text{ hoặc } x = -3 \] Kiểm tra điều kiện: - $x = 8$: Thỏa mãn $x > 2$ - $x = -3$: Không thỏa mãn $x > 2$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = 8$. Câu 2 a) Ta có $y^\prime=\frac{(2x-1)^\prime(x+3)-(2x-1)(x+3)^\prime}{(x+3)^2}=\frac{2(x+3)-(2x-1)}{(x+3)^2}=\frac{7}{(x+3)^2}>0$ với mọi $x\ne-3.$ b) Gọi tiếp tuyến cần tìm là $(T)$ và $(T)$ song song với $d,$ suy ra $(T)$ có dạng $y=7x+n.$ Mặt khác, $(T)$ là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x_0,$ do đó ta có $y^\prime(x_0)=7.$ Suy ra $\frac{7}{(x_0+3)^2}=7.$ Giải ra ta được $x_0=-2$ hoặc $x_0=-4.$ - Với $x_0=-2,$ thay vào phương trình (C) ta được $y_0=5.$ Do đó, $(T)$ đi qua điểm $(-2;5).$ Thay vào phương trình $(T)$ ta được $n=19.$ - Với $x_0=-4,$ thay vào phương trình (C) ta được $y_0=9.$ Do đó, $(T)$ đi qua điểm $(-4;9).$ Thay vào phương trình $(T)$ ta được $n=37.$ Vậy phương trình của các tiếp tuyến cần tìm là $y=7x+19$ và $y=7x+37.$ Câu 3 a) Chứng minh $SM\bot AB$: - Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và SA = SB = SC = SD. - M là trung điểm của CD, do đó SM là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. - Mặt khác, trong hình vuông ABCD, AB song song với CD và vuông góc với SM (vì SM là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD). - Do đó, $SM\bot AB$. b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD: - Diện tích đáy ABCD là $a^2$ (vì ABCD là hình vuông cạnh a). - Chiều cao của khối chóp là khoảng cách từ đỉnh S đến đáy ABCD. Ta gọi chiều cao này là h. - Ta có thể tính h bằng cách sử dụng công thức tính diện tích tam giác SCD và diện tích đáy ABCD. - Diện tích tam giác SCD là $\frac{1}{2} \times a \times h_{SCD}$, trong đó $h_{SCD}$ là chiều cao của tam giác SCD hạ từ đỉnh S xuống đáy CD. - Diện tích tam giác SCD cũng bằng $\frac{1}{2} \times a \times a \times \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \times a^2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{2}}{4}$. - Do đó, $\frac{1}{2} \times a \times h_{SCD} = \frac{a^2 \sqrt{2}}{4}$, suy ra $h_{SCD} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$. - Chiều cao h của khối chóp S.ABCD là khoảng cách từ đỉnh S đến đáy ABCD, tức là khoảng cách từ đỉnh S đến tâm O của hình vuông ABCD. - Ta có $SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$. - Thể tích khối chóp S.ABCD là $V = \frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{6}$. c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD): - Ta gọi khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) là d. - Diện tích tam giác SBD là $\frac{1}{2} \times a \times a \times \sin(45^\circ) = \frac{a^2 \sqrt{2}}{4}$. - Diện tích tam giác SAB là $\frac{1}{2} \times a \times a \times \sin(45^\circ) = \frac{a^2 \sqrt{2}}{4}$. - Diện tích tam giác ABD là $\frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2}$. - Thể tích khối chóp S.ABD là $V_{SABD} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$. - Thể tích khối chóp S.ABD cũng bằng $\frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{2}}{4} \times d$, suy ra $\frac{a^3 \sqrt{2}}{12} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{2}}{4} \times d$, suy ra $d = \frac{a}{2}$. Đáp số: a) $SM\bot AB$. b) Thể tích khối chóp S.ABCD là $\frac{a^3 \sqrt{2}}{6}$. c) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) là $\frac{a}{2}$. Câu 4 a) Để tính số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà, ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng $OA$ và $OB$. Trước tiên, ta tính độ dài đoạn thẳng $AB$: \[ AB = 5,2 \text{ m} \] Tiếp theo, ta tính độ dài đoạn thẳng $OB$: \[ OB = OA + AB = 2,8 + 3,2 = 6 \text{ m} \] Bây giờ, ta sử dụng công thức cosin trong tam giác $OAB$ để tìm góc $\angle AOB$: \[ \cos(\angle AOB) = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2 \cdot OA \cdot OB} \] \[ \cos(\angle AOB) = \frac{2,8^2 + 6^2 - 5,2^2}{2 \cdot 2,8 \cdot 6} \] \[ \cos(\angle AOB) = \frac{7,84 + 36 - 27,04}{33,6} \] \[ \cos(\angle AOB) = \frac{16,8}{33,6} = 0,5 \] Vậy góc $\angle AOB$ là: \[ \angle AOB = \cos^{-1}(0,5) = 60^\circ \] Số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà là $60^\circ$. b) Để tính xác suất để An đạt trên 9 điểm, ta cần xem xét các trường hợp có thể xảy ra khi An chọn ngẫu nhiên trong 4 câu còn lại. An đã chắc chắn làm đúng 16 câu, tức là đã có: \[ 16 \times 0,5 = 8 \text{ điểm} \] Để đạt trên 9 điểm, An cần thêm ít nhất: \[ 9 - 8 = 1 \text{ điểm} \] Mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn, trong đó có 1 đáp án đúng. Vậy xác suất để An trả lời đúng một câu là: \[ P(\text{đúng}) = \frac{1}{4} \] Xác suất để An trả lời sai một câu là: \[ P(\text{sai}) = \frac{3}{4} \] Ta sẽ xem xét các trường hợp có thể xảy ra trong 4 câu còn lại: - Nếu An trả lời đúng 1 câu và sai 3 câu: \[ P(1 \text{ đúng}, 3 \text{ sai}) = \binom{4}{1} \left(\frac{1}{4}\right)^1 \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 4 \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{27}{64}\right) = \frac{27}{64} \] Điểm số: \[ 8 + 0,5 - 3 \times 0,2 = 8 + 0,5 - 0,6 = 7,9 \text{ điểm} \quad (\text{không đạt}) \] - Nếu An trả lời đúng 2 câu và sai 2 câu: \[ P(2 \text{ đúng}, 2 \text{ sai}) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 6 \times \left(\frac{1}{16}\right) \times \left(\frac{9}{16}\right) = \frac{54}{256} = \frac{27}{128} \] Điểm số: \[ 8 + 2 \times 0,5 - 2 \times 0,2 = 8 + 1 - 0,4 = 8,6 \text{ điểm} \quad (\text{không đạt}) \] - Nếu An trả lời đúng 3 câu và sai 1 câu: \[ P(3 \text{ đúng}, 1 \text{ sai}) = \binom{4}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 4 \times \left(\frac{1}{64}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{12}{256} = \frac{3}{64} \] Điểm số: \[ 8 + 3 \times 0,5 - 1 \times 0,2 = 8 + 1,5 - 0,2 = 9,3 \text{ điểm} \quad (\text{đạt}) \] - Nếu An trả lời đúng 4 câu: \[ P(4 \text{ đúng}) = \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256} \] Điểm số: \[ 8 + 4 \times 0,5 = 8 + 2 = 10 \text{ điểm} \quad (\text{đạt}) \] Tổng xác suất để An đạt trên 9 điểm là: \[ P(\text{đạt}) = \frac{3}{64} + \frac{1}{256} = \frac{12}{256} + \frac{1}{256} = \frac{13}{256} \] Đáp số: a) Số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà là $60^\circ$. b) Xác suất để An đạt trên 9 điểm là $\frac{13}{256}$.