Giảiiiiiiiiiiiiiii hộ minhf

Câu 1 a) Điều kiện: \(3x - 2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{3}\). Phương trình đã cho tương đương với: \[3x - 2 = 10^2 \Rightarrow 3x - 2 = 100 \Rightarrow 3x = 102 \Rightarrow x = 34.\] Kiểm tra điều kiện: \(x = 34\) thỏa mãn \(x > \frac{2}{3}\). Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 34\). b) Bất phương trình đã cho tương đương với: \[2^{x^2 - x + 8} \leq 2^{2(1 - 3x)} \Rightarrow x^2 - x + 8 \leq 2 - 6x \Rightarrow x^2 + 5x + 6 \leq 0.\] Ta giải bất phương trình bậc hai: \[x^2 + 5x + 6 \leq 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) \leq 0.\] Bảng xét dấu: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, -2) & -2 & (-2, \infty) \\ \hline x + 3 & - & 0 & + & + & + \\ \hline x + 2 & - & - & - & 0 & + \\ \hline (x + 3)(x + 2) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} \] Vậy nghiệm của bất phương trình là \(-3 \leq x \leq -2\). c) Điều kiện: \(x - 2 > 0\) và \(x + 28 > 0 \Rightarrow x > 2\). Phương trình đã cho tương đương với: \[\log_{\sqrt{2}}(x - 2) + \log_{0,5}(x + 28) = 0.\] Chuyển đổi cơ số: \[\log_{\sqrt{2}}(x - 2) = \frac{\log_2(x - 2)}{\log_2(\sqrt{2})} = 2\log_2(x - 2).\] \[\log_{0,5}(x + 28) = \frac{\log_2(x + 28)}{\log_2(0,5)} = -\log_2(x + 28).\] Do đó phương trình trở thành: \[2\log_2(x - 2) - \log_2(x + 28) = 0 \Rightarrow 2\log_2(x - 2) = \log_2(x + 28) \Rightarrow \log_2((x - 2)^2) = \log_2(x + 28).\] Bỏ"log" hai vế: \[(x - 2)^2 = x + 28 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = x + 28 \Rightarrow x^2 - 5x - 24 = 0.\] Giải phương trình bậc hai: \[x^2 - 5x - 24 = 0 \Rightarrow (x - 8)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 8 \text{ hoặc } x = -3.\] Kiểm tra điều kiện: \(x = 8\) thỏa mãn \(x > 2\), còn \(x = -3\) không thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 8\). Câu 2 a) Ta có $y^\prime=\frac{(2x-1)^\prime(x+3)-(2x-1)(x+3)^\prime}{(x+3)^2}=\frac{2(x+3)-(2x-1)}{(x+3)^2}=\frac{7}{(x+3)^2}>0$ với mọi $x\ne-3.$ b) Gọi tiếp tuyến cần tìm là $(T)$ và $(T)$ song song với đường thẳng $d:~y=7x+9.$ $(T)$ có dạng $y=7x+n.$ Phương trình hoành độ giao điểm của $(T)$ và (C) là $\frac{2x-1}{x+3}=7x+n$ $\Leftrightarrow 2x-1=7x^2+nx+21x+3n$ $\Leftrightarrow 7x^2+(n+19)x+3n+1=0$ (1) Để $(T)$ tiếp xúc với (C) thì phương trình (1) có nghiệm kép. $\Delta=(n+19)^2-28(3n+1)=0$ $\Leftrightarrow n^2-10n+81=0$ $\Leftrightarrow (n-5)^2=0$ $\Leftrightarrow n=5.$ Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y=7x+5.$ Câu 3 a) Chứng minh $SM\bot AB$: - Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và SA = SB = SC = SD. - M là trung điểm của CD, do đó SM là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. - Mặt khác, trong hình vuông ABCD, AB song song với CD, suy ra AB vuông góc với SM. b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD: - Diện tích đáy ABCD là $S_{ABCD} = a^2$. - Chiều cao của chóp S.ABCD là đoạn thẳng từ S vuông góc với đáy ABCD. Ta gọi giao điểm của SM và đường thẳng qua A vuông góc với đáy là H. - Trong tam giác vuông SAM, ta có $SA = a$, $AM = \frac{a}{2}$ (vì M là trung điểm của CD). Áp dụng định lý Pythagoras, ta tính được $SM = \sqrt{SA^2 - AM^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. - Thể tích khối chóp S.ABCD là $V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SM = \frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}$. c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD): - Gọi O là tâm của đáy ABCD, ta có SO là đường cao của chóp S.ABCD. - Trong tam giác vuông SOB, ta có $SO = \sqrt{SB^2 - OB^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. - Diện tích tam giác SBD là $S_{SBD} = \frac{1}{2} \times BD \times SO = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2}{2}$. - Diện tích tam giác ABD là $S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2}$. - Thể tích khối chóp S.ABD là $V_{SABD} = \frac{1}{3} \times S_{ABD} \times SO = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$. - Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) là $d = \frac{3V_{SABD}}{S_{SBD}} = \frac{3 \times \frac{a^3\sqrt{2}}{12}}{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Đáp số: a) $SM\bot AB$ b) $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$ c) $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ Câu 4 Để tính số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đoạn thẳng: - \( AB = 5,2 \, m \) - \( OA = 2,8 \, m \) - \( OB = 3,2 \, m \) 2. Tìm góc giữa hai đoạn thẳng \( OA \) và \( OB \): - Ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai đoạn thẳng: \[ \cos(\angle AOB) = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2 \cdot OA \cdot OB} \] - Thay các giá trị vào công thức: \[ \cos(\angle AOB) = \frac{2,8^2 + 3,2^2 - 5,2^2}{2 \cdot 2,8 \cdot 3,2} \] \[ \cos(\angle AOB) = \frac{7,84 + 10,24 - 27,04}{17,92} \] \[ \cos(\angle AOB) = \frac{-9,96}{17,92} \approx -0,5558 \] 3. Tính góc \( \angle AOB \): - Sử dụng máy tính để tìm góc \( \angle AOB \): \[ \angle AOB = \cos^{-1}(-0,5558) \approx 123,7^\circ \] 4. Số đo của góc nhị diện: - Góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà là góc giữa hai đoạn thẳng \( OA \) và \( OB \). Do đó, số đo của góc nhị diện là: \[ \boxed{123,7^\circ} \]