cho các số thực x, y, z thỏa mãn x+y+z=3
tìm Min của biểu thức P=x(2x+z) +y(6y+z)

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = x(2x + z) + y(6y + z) $ với điều kiện $ x + y + z = 3 $, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Biểu thức $ P $ được viết lại dưới dạng:
$$ P = x(2x + z) + y(6y + z) $$
$$ P = 2x^2 + xz + 6y^2 + yz $$

Bước 2: Ta thay $ z = 3 - x - y $ vào biểu thức $ P $:
$$ P = 2x^2 + x(3 - x - y) + 6y^2 + y(3 - x - y) $$
$$ P = 2x^2 + 3x - x^2 - xy + 6y^2 + 3y - xy - y^2 $$
$$ P = x^2 + 6y^2 + 3x + 3y - 2xy $$

Bước 3: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $ x $ và $ y $:
$$ P = x^2 - 2xy + y^2 + 5y^2 + 3x + 3y $$
$$ P = (x - y)^2 + 5y^2 + 3x + 3y $$

Bước 4: Ta thấy rằng $ (x - y)^2 \geq 0 $ và $ 5y^2 \geq 0 $. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $ P $ sẽ xảy ra khi $ (x - y)^2 = 0 $ và $ 5y^2 = 0 $, tức là $ x = y $ và $ y = 0 $.

Bước 5: Thay $ y = 0 $ vào điều kiện $ x + y + z = 3 $:
$$ x + 0 + z = 3 $$
$$ x + z = 3 $$
$$ x = z $$

Do đó, ta có $ x = y = z = 1 $.

Bước 6: Thay $ x = 1 $, $ y = 1 $, $ z = 1 $ vào biểu thức $ P $:
$$ P = 1(2 \cdot 1 + 1) + 1(6 \cdot 1 + 1) $$
$$ P = 1(2 + 1) + 1(6 + 1) $$
$$ P = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 7 $$
$$ P = 3 + 7 $$
$$ P = 10 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P $ là 10, đạt được khi $ x = 1 $, $ y = 1 $, $ z = 1 $.

cho các số thực x, y, z thỏa mãn x+y+z=3 tìm Min của biểu thức P=x(2x+z) +y(6y+z)