trả lời câu hỏi

Câu 1. a) Hàm số $y=3^{x+1}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vì hàm số $y=3^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $y=3^{x+1}$ là hàm số $y=3^x$ dịch chuyển sang trái 1 đơn vị. b) Tập xác định của hàm số $y=(9^x-3^{x+1})^{\frac13}$ là $D=\mathbb{R}$. Vì $9^x-3^{x+1}=3^{2x}-3\cdot3^x=(3^x)^2-3\cdot3^x$. Biểu thức này luôn luôn có nghĩa với mọi $x\in\mathbb{R}$. c) Khi $m=\frac12,$ đặt $t=3^x$ (điều kiện $t>0),$ phương trình (1) trở thành $t^2-3t+2\cdot\frac12-1=0$, tức là $t^2-3t=0$. d) Phương trình $9^x-3^{x+1}+2m-1=0$ có thể viết lại dưới dạng $(3^x)^2-3\cdot3^x+2m-1=0$. Đặt $t=3^x$ (điều kiện $t>0$), ta có phương trình $t^2-3t+2m-1=0$. Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, ta cần: - Discriminant $D=(-3)^2-4(2m-1)>0$, tức là $9-8m+4>0$, hay $13-8m>0$, suy ra $m< \frac{13}{8}$. - Nghiệm của phương trình $t^2-3t+2m-1=0$ phải dương, tức là $t_1+t_2=3>0$ và $t_1t_2=2m-1>0$, suy ra $m>\frac{1}{2}$. Do đó, $m$ phải thỏa mãn $\frac{1}{2}< m< \frac{13}{8}$. Các giá trị nguyên của $m$ trong khoảng này là $m=1$. Vậy có một giá trị nguyên của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, đó là $m=1$. Câu 2. a) Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD nên SA vuông góc với AC và BD. Mặt khác, AC vuông góc với BD (do ABCD là hình vuông). Do đó, AC vuông góc với mặt phẳng SBD. Vậy góc giữa mặt phẳng (SAC) và (SBD) chính là góc giữa đường thẳng AC và đường thẳng SD trong mặt phẳng SAC. Ta có: \[ \tan(\angle ASD) = \frac{SA}{AD} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2} \] Do đó, góc ASD là góc giữa mặt phẳng (SAC) và (SBD), và ta có: \[ \angle ASD = \arctan(\sqrt{2}) \approx 54.74^\circ \neq 60^\circ \] b) Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA. Ta có: \[ \cos(\angle SCA) = \frac{AC}{SC} \] Trong tam giác SAC, ta có: \[ AC = a\sqrt{2} \] \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{2a^2 + 2a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] Do đó: \[ \cos(\angle SCA) = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy góc SCA là: \[ \angle SCA = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ \] c) Thể tích khối chóp S.ABCD là: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = a^2 \] Chiều cao SA là: \[ SA = a\sqrt{2} \] Do đó: \[ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3} \] Đáp số: a) Góc giữa mặt phẳng (SAC) và (SBD) không phải là $60^\circ$. b) Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là $45^\circ$. c) Thể tích khối chóp S.ABCD là $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$.