Giup e voi Bài 3. (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A $(AB

Question

Giup e voi Bài 3. (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A $(AB<AC),$ kẻ đường cao AH $(H\in BC),$ đường phân giác,BD của $\widehat{ABC}~(D\in AC).$ Gọi I là giao điểm của AH và BD.,1) Chứng minh: $\Delta ABH\backsim\Delta\overline{CBA}$ và tính BH khi $AB=9~cm,~AC=12~cm$ (số liệu chỉ dùng cho câu a).,2) Chứng minh $\widehat{BDA}=\widehat{BIH},$ từ đó chứng minh $\Delta AID$ cân.,3) Chứng minh $DA^2=DC.$ IH.

Tài khoản ẩn danh · Accepted Answer

Bài 3. (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), kẻ đường cao AH (H∈BC), đường phân giác BD của ABC (D∈ AC). Gọi I là giao điểm của AH và BD.

1) Chứng minh: ∆ABH ~ ∆CBA và tính BH khi AB = 9cm, AC = 12cm (số liệu chỉ dùng cho câu a).

Chứng minh ∆ABH ~ ∆CBA:
Xét ∆ABH và ∆CBA, ta có:
∠AHB = ∠BAC = 90° (gt)
∠B chung
Vậy ∆ABH ~ ∆CBA (g.g)
Tính BH:
Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 => BC = √225 = 15 (cm)

Vì ∆ABH ~ ∆CBA nên BH=5,4 cm

2) Chứng minh ∠BDA = ∠BIH, từ đó chứng minh ∆AID cân.

Chứng minh ∠BDA = ∠BIH:
Xét tam giác ABI, ta có: ∠BIH là góc ngoài tại đỉnh I, nên:
∠BIH = ∠BAI + ∠ABI
Vì BD là đường phân giác của góc ABC nên ∠ABI = ∠CBD.
Ta có: ∠BAI + ∠ABI = 90° - ∠ABD + ∠ABD = ∠BDA (góc ngoài tam giác ABD)
Vậy ∠BDA = ∠BIH
Chứng minh ∆AID cân:
Ta có: ∠BIH = ∠AID (đối đỉnh)
Mà ∠BDA = ∠BIH (cmt)
=> ∠BDA = ∠AID
=> ∆AID cân tại A.

3.Chứng minh DA² = DC . IH.

Để chứng minh DA² = DC . IH, ta sẽ chứng minh hai tam giác đồng dạng để suy ra tỉ lệ thức.

Xét tam giác ABD, vì BI là đường phân giác của góc ABD, theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

AD/AB = DI/IB (1)

Xét tam giác BCD, vì BI là đường phân giác của góc CBD, theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

DC/BC = DI/IB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD/AB = DC/BC hay AD/DC = AB/BC

Xét tam giác ABH vuông tại H và tam giác CBA vuông tại A, ta có: góc B chung => ∆ABH ~ ∆CBA (g.g) => AB/BC = BH/AB => AB² = BC.BH

Xét tam giác ADI và tam giác BHI có: góc AID = góc BIH (đối đỉnh) góc DAI = góc DBH (cùng phụ với góc ABD) => ∆ADI ~ ∆BHI (g.g) => AD/BH = DI/HI => AD.HI = BH.DI

Ta có: AD/DC = AB/BC (chứng minh trên) => AD² / (DC.AD) = AB²/ (BC.AB) => AD² / (DC.AD) = BC.BH / (BC.AB) => AD² / (DC.AD) = BH / AB

Ta có: ∆ADI ~ ∆BHI (chứng minh trên) => AD/BH = DI/HI => AD.HI = BH.DI

Ta cần chứng minh: DA² = DC . IH

Ta có: AD/DC = AB/BC (cmt) => AD² / (DC.AD) = AB²/ (BC.AB) => AD² / (DC.AD) = BH.BC / (BC.AB) => AD² = DC.AD.BH.BC / (BC.AB) => AD² = DC.AD.BH / AB

Ta có: ∆ADI ~ ∆BHI (cmt) => AD/BH = DI/HI => AD = BH.DI/HI

Thay vào AD² = DC.AD.BH / AB, ta có: (BH.DI/HI)² = DC.BH.DI/AB => BH.DI / HI² = DC / AB => BH.DI.AB = DC.HI²

Timi · Answer

Bài 3.
1) Chứng minh: $\Delta ABH\backsim\Delta CBA$ và tính BH khi $AB=9~cm,~AC=12~cm$ (số liệu chỉ dùng cho câu a).

Ta có:
- $\widehat{BAH} = \widehat{CBA}$ (cùng bằng góc $\widehat{B}$)
- $\widehat{AHB} = \widehat{CAB}$ (cùng bằng góc vuông)

Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có $\Delta ABH \backsim \Delta CBA$.

Từ đó, ta có tỉ lệ:
$$ \frac{BH}{AB} = \frac{AB}{BC} $$

Ta tính $BC$ bằng định lý Pythagoras:
$$ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm} $$

Áp dụng tỉ lệ trên:
$$ \frac{BH}{9} = \frac{9}{15} $$
$$ BH = 9 \times \frac{9}{15} = 9 \times \frac{3}{5} = \frac{27}{5} = 5.4 \text{ cm} $$

2) Chứng minh $\widehat{BDA} = \widehat{BIH}$, từ đó chứng minh $\Delta AID$ cân.

Ta có:
- $\widehat{BDA} = \widehat{DBA} + \widehat{BAD}$ (góc ngoài của tam giác)
- $\widehat{BIH} = \widehat{IBA} + \widehat{BAI}$ (góc ngoài của tam giác)

Vì BD là đường phân giác của $\widehat{ABC}$, nên $\widehat{DBA} = \widehat{IBA}$.

Mặt khác, $\widehat{BAD} = \widehat{BAI}$ (vì AH là đường cao hạ từ đỉnh A).

Do đó, ta có:
$$ \widehat{BDA} = \widehat{DBA} + \widehat{BAD} = \widehat{IBA} + \widehat{BAI} = \widehat{BIH} $$

Vậy $\widehat{BDA} = \widehat{BIH}$.

Từ đó, ta có $\Delta AID$ cân tại I (vì $\widehat{AID} = \widehat{ADI}$).

3) Chứng minh $DA^2 = DC \cdot IH$.

Ta có:
- $\widehat{DAI} = \widehat{CDI}$ (vì $\Delta AID$ cân tại I)
- $\widehat{AID} = \widehat{CID}$ (góc chung)

Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có $\Delta DAI \backsim \Delta CDI$.

Từ đó, ta có tỉ lệ:
$$ \frac{DA}{DC} = \frac{DI}{DA} $$

Nhân cả hai vế với $DA \cdot DC$, ta được:
$$ DA^2 = DC \cdot DI $$

Vậy $DA^2 = DC \cdot IH$.

Mua hàng shopee · Answer

{"userId":5180581,"userName":"Thảo Nguyễn"}

1) Chứng minh $ riangle ABH \sim riangle CBA$ và tính $BH$ khi $AB = 9cm, AC = 12cm$.

Xét $ riangle ABH$ và $ riangle CBA$ có:

* $\widehat{BAH} = \widehat{BAC} = 90^\circ$

* $\widehat{B}$ chung

$\Rightarrow riangle ABH \sim riangle CBA$ (g.g)

Khi $AB=9cm$, $AC=12cm$, ta có:

Theo định lý Pytago trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

$\Rightarrow BC = \sqrt{225} = 15cm$

Vì $ riangle ABH \sim riangle CBA$, ta có:

$\dfrac{BH}{AB} = \dfrac{AB}{BC}$

$\Rightarrow BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{9^2}{15} = \dfrac{81}{15} = 5,4cm$

2) Chứng minh $\widehat{BDA} = \widehat{BIH}$, từ đó chứng minh $ riangle AID$ cân.

Xét $ riangle ABC$ có $BD$ là phân giác của $\widehat{ABC}$, ta có:

$\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = \dfrac{1}{2}\widehat{ABC}$

Ta có $\widehat{BIH}$ là góc ngoài của $ riangle ABI$

$\Rightarrow \widehat{BIH} = \widehat{BAI} + \widehat{ABI} = 90^\circ + \widehat{ABD}$

Trong $ riangle ABD$ vuông tại $A$, ta có:

$\widehat{BDA} = 90^\circ - \widehat{ABD}$

$\Rightarrow \widehat{BDA} + \widehat{ABD} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{BDA} = 90^\circ - \widehat{ABD}$

Vì $BD$ là phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{ABD} = \widehat{DBC}$.

Mà $\widehat{BIH} = \widehat{BAI} + \widehat{ABI} = 90^\circ + \widehat{ABD}$

$\Rightarrow \widehat{BDA} = \widehat{BIH}$

Trong $ riangle AID$, ta có $\widehat{ADI} = \widehat{BDA}$ và $\widehat{AIH} = \widehat{BIH}$.

Vì $\widehat{BDA} = \widehat{BIH}$ nên $\widehat{ADI} = \widehat{AIH}$.

$\Rightarrow riangle AID$ cân tại $A$.

3) Chứng minh $DA^2 = DC. IH$.

Vì $ riangle ABH \sim riangle CBA$ (câu 1), ta có

$\dfrac{AH}{AC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BH}{AB}$

Vì $ riangle AID$ cân tại A (câu 2) nên $AI = AD$

Xét $ riangle CDB$ và $ riangle ABI$, ta có:

* $\widehat{DCB}$ chung

* $\widehat{CBD} = \widehat{ABI}$ (do $BD$ là phân giác $\widehat{ABC}$)

$\Rightarrow riangle CDB \sim riangle ABI$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{DC}{AI} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BD}{BI}$ (1)

Ta lại có $\dfrac{AH}{AC} = \dfrac{AB}{BC}$.

$\Rightarrow \dfrac{IH}{DC} = \dfrac{AI}{AC} = \dfrac{AD}{AC}$.

$\Rightarrow DA.IH = DC.AD$

$ riangle AID$ cân tại A nên $AI = AD$.

$\Rightarrow IH.DA = DC.DA$

Vì $DA e 0$

$\Rightarrow IH = DC$

Mà $AI = AD$

Nên $DA^2 = DC. IH$.