Giải chi tiết Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1: Hai bạn An và Bình lần lượt đi trên con đường có tên $\Delta_1$ và $\Delta_2.\Delta_1$ là đường thẳng đi qua hai,điểm $A(-3;1;2)$ và $B(0;-2;8),~\Delta_2$ là đường thẳng đi qua hai điểm $C(6;8;-1)$ và $D(3;6;0)$,a) Khoảng cách ngắn nhất giữa hai con đường bằng $\frac{11}{\sqrt{83}}.$,b) Cosin của góc tạo tạo bởi hai con đường $\Delta_1$ và $\Delta_2$ bằng $\frac{\sqrt{21}}{42}.$,c) Hai con đường $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là hai đường thẳng chéo nhau.,d) Mặt phẳng $(\alpha)$ song song, cách đều $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có phương trình $3x-7y-5z+\frac{59}2=0$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
a) Khoảng cách ngắn nhất giữa hai con đường:
- Vector chỉ phương của $\Delta_1$: $\overrightarrow{AB} = (3, -3, 6)$
- Vector chỉ phương của $\Delta_2$: $\overrightarrow{CD} = (-3, -2, 1)$
- Vector chỉ từ điểm trên $\Delta_1$ đến điểm trên $\Delta_2$: $\overrightarrow{AC} = (9, 7, -3)$

Ta tính vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2$:
$$
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
3 & -3 & 6 \
-3 & -2 & 1
\end{vmatrix} = (3 \cdot 1 - 6 \cdot (-2))\mathbf{i} - (3 \cdot 1 - 6 \cdot (-3))\mathbf{j} + (3 \cdot (-2) - (-3) \cdot (-3))\mathbf{k} = (3 + 12)\mathbf{i} - (3 + 18)\mathbf{j} + (-6 - 9)\mathbf{k} = 15\mathbf{i} - 21\mathbf{j} - 15\mathbf{k}
$$

Khoảng cách ngắn nhất:
$$
d = \frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{|(9, 7, -3) \cdot (15, -21, -15)|}{\sqrt{15^2 + (-21)^2 + (-15)^2}} = \frac{|135 - 147 + 45|}{\sqrt{225 + 441 + 225}} = \frac{33}{\sqrt{891}} = \frac{33}{3\sqrt{99}} = \frac{11}{\sqrt{83}}
$$

b) Cosin của góc tạo bởi hai con đường:
$$
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|} = \frac{(3, -3, 6) \cdot (-3, -2, 1)}{\sqrt{3^2 + (-3)^2 + 6^2} \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{-9 + 6 + 6}{\sqrt{9 + 9 + 36} \sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{54} \sqrt{14}} = \frac{3}{3\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{84}} = \frac{\sqrt{21}}{42}
$$

c) Hai con đường $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là hai đường thẳng chéo nhau:
- Ta kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau hay không bằng cách giải hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
-3 + 3t = 6 - 3s \
1 - 3t = 8 - 2s \
2 + 6t = -1 + s
\end{cases}
$$
Giải hệ này ta thấy không có nghiệm chung, do đó hai đường thẳng chéo nhau.

d) Mặt phẳng $(\alpha)$ song song, cách đều $\Delta_1$ và $\Delta_2$:
- Phương pháp mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng và cách đều chúng:
$$
(\alpha): 3x - 7y - 5z + D = 0
$$
- Ta tính khoảng cách từ điểm trên $\Delta_1$ và $\Delta_2$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ và đặt chúng bằng nhau để tìm $D$:
$$
\frac{|3(-3) - 7(1) - 5(2) + D|}{\sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-5)^2}} = \frac{|3(6) - 7(8) - 5(-1) + D|}{\sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-5)^2}}
$$
$$
\frac{|-9 - 7 - 10 + D|}{\sqrt{9 + 49 + 25}} = \frac{|18 - 56 + 5 + D|}{\sqrt{9 + 49 + 25}}
$$
$$
\frac{|-26 + D|}{\sqrt{83}} = \frac{|-33 + D|}{\sqrt{83}}
$$
$$
|-26 + D| = |-33 + D|
$$
$$
D = \frac{59}{2}
$$

Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là:
$$
3x - 7y - 5z + \frac{59}{2} = 0
$$