giải dùmmmmmm

Câu 3. Để tìm xác suất của biến cố \(A \cup B\), ta cần biết xác suất của biến cố \(B\) và áp dụng công thức xác suất của biến cố tổng. Trước tiên, ta biết rằng \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, do đó: \[ P(AB) = P(A) \cdot P(B) \] Biết \(P(A) = 0,4\) và \(P(AB) = 0,2\), ta có thể tính \(P(B)\): \[ 0,2 = 0,4 \cdot P(B) \] \[ P(B) = \frac{0,2}{0,4} = 0,5 \] Tiếp theo, ta áp dụng công thức xác suất của biến cố tổng: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ P(A \cup B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7 \] Vậy xác suất của biến cố \(A \cup B\) là: \[ P(A \cup B) = 0,7 \] Câu 4. Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có: - Tam giác SAD đều nên SH vuông góc với AD tại H. - Mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt đáy (ABCD) nên SH vuông góc với mặt đáy (ABCD). Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) là góc SCA. Bây giờ, ta tính độ dài các đoạn thẳng liên quan: - Vì ABCD là hình vuông cạnh a, nên AC = a√2. - Tam giác SAD đều có cạnh a, nên SH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Ta có: - SA = a (vì tam giác SAD đều). - SC là đường chéo của hình chữ nhật SACD, do đó SC = $\sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3}$. Bây giờ, ta tính cos góc SCA: cos(SCA) = $\frac{AC}{SC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ≈ 0.8 Vậy cos góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) là khoảng 0.8. Bài 1 a) Tính đạo hàm của hàm số: $y=e^{2x}-7^x.$ Đạo hàm của hàm số $y = e^{2x} - 7^x$ là: \[ y' = \frac{d}{dx}(e^{2x}) - \frac{d}{dx}(7^x) \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ, ta có: \[ y' = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) - 7^x \cdot \ln(7) \cdot \frac{d}{dx}(x) \] \[ y' = e^{2x} \cdot 2 - 7^x \cdot \ln(7) \cdot 1 \] \[ y' = 2e^{2x} - 7^x \ln(7) \] b) Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: $S(t)=t^3+3t^2-9t+27,$ trong đó t tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m). Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triêu tiêu. Trước tiên, ta tính vận tốc tức thời của chuyển động bằng cách tìm đạo hàm của phương trình chuyển động $S(t)$: \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 3t^2 - 9t + 27) \] \[ v(t) = 3t^2 + 6t - 9 \] Tiếp theo, ta tìm thời điểm vận tốc triêu tiêu bằng cách giải phương trình $v(t) = 0$: \[ 3t^2 + 6t - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ t^2 + 2t - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng phương pháp phân tích: \[ (t + 3)(t - 1) = 0 \] Vậy ta có hai nghiệm: \[ t = -3 \quad \text{hoặc} \quad t = 1 \] Do thời gian không thể âm, ta chọn $t = 1$. Bây giờ, ta tính gia tốc tức thời của chuyển động bằng cách tìm đạo hàm của phương trình vận tốc $v(t)$: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 6t - 9) \] \[ a(t) = 6t + 6 \] Cuối cùng, ta tính gia tốc tại thời điểm $t = 1$: \[ a(1) = 6 \cdot 1 + 6 = 12 \] Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triêu tiêu là 12 m/s². Bài 2 a) Gọi A là biến cố "An đạt điểm giỏi", B là biến cố "Bình đạt điểm giỏi". Ta có: - Xác suất của biến cố A là P(A) = 0,85 - Xác suất của biến cố B là P(B) = 0,88 Biến cố "cả hai bạn An và Bình đều không đạt điểm giỏi" là $\bar{A} \cap \bar{B}$. Xác suất của biến cố này là: \[ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = (1 - 0,85) \cdot (1 - 0,88) = 0,15 \cdot 0,12 = 0,018 \] Biến cố "ít nhất một trong hai bạn An và Bình đạt điểm giỏi" là $\overline{\bar{A} \cap \bar{B}}$. Xác suất của biến cố này là: \[ P(\overline{\bar{A} \cap \bar{B}}) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,018 = 0,982 \] Vậy xác suất để ít nhất một trong hai bạn An và Bình đạt điểm giỏi là 0,982. b) Gọi C là biến cố "cả ba sản phẩm lấy ra đều xấu". Số cách chọn 3 sản phẩm từ 10 sản phẩm xấu là: \[ \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \] Số cách chọn 3 sản phẩm từ tổng cộng 40 sản phẩm là: \[ \binom{40}{3} = \frac{40!}{3!(40-3)!} = \frac{40 \times 39 \times 38}{3 \times 2 \times 1} = 9880 \] Xác suất của biến cố C là: \[ P(C) = \frac{\binom{10}{3}}{\binom{40}{3}} = \frac{120}{9880} = \frac{3}{247} \] Biến cố "ít nhất một sản phẩm tốt" là $\overline{C}$. Xác suất của biến cố này là: \[ P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{3}{247} = \frac{244}{247} \] Vậy xác suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt là $\frac{244}{247}$. Bài 3 a) Chứng minh rằng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (SAB). - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC), bao gồm cả BC. - Mặt khác, vì ABC là tam giác vuông tại B, nên AB vuông góc với BC. - Do đó, BC vuông góc với cả SA và AB, mà SA và AB là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (SAB). Theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có BC vuông góc với mặt phẳng (SAB). - Vậy mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (SAB) theo giao tuyến BC. b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). - Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng (SBC). Ta cần tính AH. - Diện tích tam giác SBC: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times BC \] - Ta có: \[ SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] - Vậy: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times a\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times a^2 \times \sqrt{6} = \frac{a^2 \sqrt{6}}{2} \] - Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times a \times a\sqrt{2} = \frac{a^2 \sqrt{2}}{2} \] - Thể tích khối chóp S.ABC: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{2}}{2} \times a\sqrt{2} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{2}}{2} \times a\sqrt{2} = \frac{1}{3} \times \frac{a^3 \times 2}{2} = \frac{a^3}{3} \] - Thể tích khối chóp A.SBC cũng bằng thể tích khối chóp S.ABC: \[ V_{A.SBC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times AH = \frac{a^3}{3} \] \[ \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{6}}{2} \times AH = \frac{a^3}{3} \] \[ \frac{a^2 \sqrt{6}}{2} \times AH = a^3 \] \[ AH = \frac{a^3 \times 2}{a^2 \sqrt{6}} = \frac{2a}{\sqrt{6}} = \frac{2a \sqrt{6}}{6} = \frac{a \sqrt{6}}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là $\frac{a \sqrt{6}}{3}$.