Cho tam giác abc vuông tại A có đường cao AH ,( H thuộc BC ) . Biết AB = 3cm , AC =4cm a. Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC b. Tính độ dài AH c. Đường phân giác góc abc cắt AH ,AC lần lượt...

a. Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC - Xét tam giác HBA và tam giác ABC: - Cả hai đều có góc B chung. - Góc HAB = góc CBA (vì cả hai đều là góc vuông). Do đó, theo tiêu chí góc-góc (góc B chung và góc HAB = góc CBA), ta có tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC. b. Tính độ dài AH - Ta biết diện tích tam giác ABC có thể tính theo hai cách: - Cách 1: Diện tích tam giác ABC = $\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ cm². - Cách 2: Diện tích tam giác ABC = $\frac{1}{2} \times BC \times AH$. - Trước tiên, ta tính độ dài cạnh BC bằng định lý Pythagoras: - $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ cm. - Bây giờ, ta có: - $6 = \frac{1}{2} \times 5 \times AH$ - $AH = \frac{6 \times 2}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$ cm. c. Đường phân giác góc ABC cắt AH, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh AM × AN = MH × NC. - Vì đường phân giác góc ABC cắt AH và AC tại M và N, ta có: - $\frac{AM}{MH} = \frac{AB}{BH}$ (theo tính chất đường phân giác trong tam giác) - $\frac{AN}{NC} = \frac{AB}{BC}$ (theo tính chất đường phân giác trong tam giác) - Kết hợp hai tỉ lệ trên, ta có: - $\frac{AM}{MH} \times \frac{AN}{NC} = \frac{AB}{BH} \times \frac{AB}{BC}$ - Vì tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC, ta có: - $\frac{AB}{BH} = \frac{BC}{AB}$ - Do đó: - $\frac{AM}{MH} \times \frac{AN}{NC} = \frac{AB}{BC} \times \frac{AB}{BC} = 1$ - Từ đây, ta suy ra: - $AM \times AN = MH \times NC$ Vậy ta đã chứng minh được AM × AN = MH × NC.