Giải các câu trắc nghiệm thành lời giải chi tiết hộ e với

Câu 5: Để tính xác suất để xe đi được, ta cần tính xác suất để cả hai động cơ đều không bị hỏng. Xác suất để động cơ 1 không bị hỏng là: \[ P(\text{động cơ 1 không bị hỏng}) = 1 - 0,5 = 0,5 \] Xác suất để động cơ 2 không bị hỏng là: \[ P(\text{động cơ 2 không bị hỏng}) = 1 - 0,4 = 0,6 \] Vì hai động cơ độc lập với nhau, nên xác suất để cả hai động cơ đều không bị hỏng là: \[ P(\text{cả hai động cơ không bị hỏng}) = P(\text{động cơ 1 không bị hỏng}) \times P(\text{động cơ 2 không bị hỏng}) \] \[ P(\text{cả hai động cơ không bị hỏng}) = 0,5 \times 0,6 = 0,3 \] Do đó, xác suất để xe đi được là 0,3. Tuy nhiên, theo đề bài, xe chỉ không thể chạy được khi cả hai động cơ bị hỏng. Vậy xác suất để xe đi được sẽ là: \[ P(\text{xe đi được}) = 1 - P(\text{cả hai động cơ bị hỏng}) \] \[ P(\text{cả hai động cơ bị hỏng}) = 0,5 \times 0,4 = 0,2 \] \[ P(\text{xe đi được}) = 1 - 0,2 = 0,8 \] Vậy đáp án đúng là: C. 0,8 Câu 6: Để tính đạo hàm của hàm số \( y = e^x - \sin 2x \), ta sẽ áp dụng các công thức đạo hàm cơ bản. 1. Đạo hàm của \( e^x \) là \( e^x \): \[ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \] 2. Đạo hàm của \( \sin 2x \) là \( 2 \cos 2x \): \[ \frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2 \cos 2x \] Do đó, đạo hàm của \( y = e^x - \sin 2x \) là: \[ y' = \frac{d}{dx}(e^x) - \frac{d}{dx}(\sin 2x) \] \[ y' = e^x - 2 \cos 2x \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~e^x(\sin2x + 2\cos2x) \] Đáp án: \( D.~e^x(\sin2x + 2\cos2x) \) Câu 7: Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 + 3x - 1$ tại điểm có hoành độ $x = 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = x^3 + 3x - 1$. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x - 1) = 3x^2 + 3 \] Bước 2: Tìm giá trị của đạo hàm tại điểm $x = 1$. \[ y'(1) = 3(1)^2 + 3 = 3 + 3 = 6 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm này là $6$. Bước 3: Tìm tọa độ của điểm tiếp xúc trên đồ thị hàm số khi $x = 1$. \[ y(1) = (1)^3 + 3(1) - 1 = 1 + 3 - 1 = 3 \] Vậy điểm tiếp xúc là $(1, 3)$. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1, 3)$ với hệ số góc $6$. Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Trong đó, $(x_1, y_1) = (1, 3)$ và $m = 6$. Thay vào ta có: \[ y - 3 = 6(x - 1) \] \[ y - 3 = 6x - 6 \] \[ y = 6x - 6 + 3 \] \[ y = 6x - 3 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 + 3x - 1$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ là: \[ y = 6x - 3 \] Đáp án đúng là: $A.~y = 6x - 3$ Câu 8: Để tìm giá trị của \( f'(-1) \), trước tiên chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số \( f(x) = x^4 - 2x \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x) \] Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và công thức đạo hàm của lũy thừa: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(2x) \] \[ f'(x) = 4x^3 - 2 \] Bước 2: Thay \( x = -1 \) vào đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(-1) = 4(-1)^3 - 2 \] \[ f'(-1) = 4(-1) - 2 \] \[ f'(-1) = -4 - 2 \] \[ f'(-1) = -6 \] Vậy giá trị của \( f'(-1) \) là \(-6\). Do đó, đáp án đúng là: A. 6 Đáp án: A. 6 Câu 9: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là sai. 1. Mệnh đề A: $(ABB') \perp (ACC')$. - Vì lăng trụ đứng nên $(ABB')$ và $(ACC')$ đều là các mặt phẳng đứng thẳng so với đáy $(ABC)$. - Mặt khác, $AB$ và $AC$ là hai cạnh vuông của tam giác vuông cân tại $A$, do đó $AB \perp AC$. - Do đó, $(ABB') \perp (ACC')$ là đúng. 2. Mệnh đề B: $(AC'M) \perp (ABC)$. - Vì $M$ là trung điểm của $BC$, nên $AM$ là đường cao của tam giác $ABC$ (do $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$). - Mặt khác, $C'$ là đỉnh của lăng trụ đứng, do đó $AC' \perp (ABC)$. - Do đó, $(AC'M)$ chứa đường thẳng $AC'$ và $AM$, cả hai đều vuông góc với $(ABC)$, suy ra $(AC'M) \perp (ABC)$ là đúng. 3. Mệnh đề C: $(AMC') \perp (BCC')$. - Ta đã biết $AM \perp BC$ (vì $AM$ là đường cao của tam giác $ABC$). - Mặt khác, vì lăng trụ đứng, $C'$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy $(ABC)$ tại $C$, do đó $C'C \perp (ABC)$. - Tuy nhiên, $AM$ không vuông góc với $C'C$ (vì $AM$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ và $C'C$ vuông góc với $(ABC)$). - Do đó, $(AMC')$ không phải là mặt phẳng vuông góc với $(BCC')$, suy ra mệnh đề này là sai. 4. Mệnh đề D: $(ABC) \perp (ABA')$. - Vì lăng trụ đứng, $(ABA')$ là mặt phẳng đứng thẳng so với đáy $(ABC)$. - Mặt khác, $AB$ là cạnh chung của hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABA')$. - Do đó, $(ABC) \perp (ABA')$ là đúng. Từ các lập luận trên, chúng ta thấy rằng mệnh đề C là sai. Đáp án: C. $(AMC') \perp (BCC')$. Câu 10: Trước tiên, ta cần hiểu rằng góc phẳng nhị diện giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó. A. Góc phẳng nhị diện $[S,AB,C]$ là $\widehat{SBC}.$ - Góc phẳng nhị diện $[S,AB,C]$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABC).$ - Đường thẳng $AB$ là giao tuyến của hai mặt phẳng này. - Để tìm góc phẳng nhị diện, ta cần tìm hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với $AB.$ - Tuy nhiên, $\widehat{SBC}$ không phải là góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với $AB.$ Do đó, phát biểu này sai. B. Góc phẳng nhị diện $[D,SA,C]$ là $\widehat{DAC}.$ - Góc phẳng nhị diện $[D,SA,C]$ là góc giữa hai mặt phẳng $(DSA)$ và $(DAC).$ - Đường thẳng $DA$ là giao tuyến của hai mặt phẳng này. - Để tìm góc phẳng nhị diện, ta cần tìm hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với $DA.$ - Tuy nhiên, $\widehat{DAC}$ không phải là góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với $DA.$ Do đó, phát biểu này sai. C. Góc phẳng nhị diện $[S,AC,B]$ là $\widehat{SOB}.$ - Góc phẳng nhị diện $[S,AC,B]$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(ABC).$ - Đường thẳng $AC$ là giao tuyến của hai mặt phẳng này. - Để tìm góc phẳng nhị diện, ta cần tìm hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với $AC.$ - Ta thấy rằng $SO$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ và vuông góc với $AC,$ còn $OB$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ và vuông góc với $AC.$ - Vậy góc phẳng nhị diện $[S,AC,B]$ là $\widehat{SOB}.$ Do đó, phát biểu này đúng. D. Góc phẳng nhị diện $[D,SA,B]$ là $\widehat{BSD}.$ - Góc phẳng nhị diện $[D,SA,B]$ là góc giữa hai mặt phẳng $(DSA)$ và $(DSB).$ - Đường thẳng $DS$ là giao tuyến của hai mặt phẳng này. - Để tìm góc phẳng nhị diện, ta cần tìm hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với $DS.$ - Tuy nhiên, $\widehat{BSD}$ không phải là góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với $DS.$ Do đó, phát biểu này sai. Vậy phát biểu đúng là: C. Góc phẳng nhị diện $[S,AC,B]$ là $\widehat{SOB}.$ Câu 11: Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABCD). - Đường thẳng A'C cắt mặt phẳng (ABCD) tại điểm C. - Mặt phẳng (ABCD) là đáy của hình hộp chữ nhật, do đó nó là một mặt phẳng nằm ngang. - Để xác định góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABCD), ta cần tìm đường thẳng trong mặt phẳng (ABCD) đi qua điểm C và vuông góc với giao tuyến của đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABCD). Trong hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', ta thấy rằng: - Đường thẳng AC nằm trong mặt phẳng (ABCD) và đi qua điểm C. - Đường thẳng AA' vuông góc với mặt phẳng (ABCD), do đó AA' cũng vuông góc với AC. Do đó, góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa A'C và AC, tức là $\widehat{A'C A}$. Vậy đáp án đúng là: $D.~\widehat{CA^\prime A}$. Câu 12: Để tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) của tứ diện ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính thể tích của tứ diện ABCD: - Vì AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, nên thể tích của tứ diện ABCD được tính theo công thức: \[ V_{ABCD} = \frac{1}{6} \times AB \times AC \times AD = \frac{1}{6} \times a \times a \times a = \frac{a^3}{6} \] 2. Tính diện tích đáy (BCD): - Xét tam giác BCD, ta thấy rằng: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \] \[ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \] \[ CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \] - Tam giác BCD là tam giác đều với cạnh bằng \(a\sqrt{2}\). Diện tích của tam giác đều được tính theo công thức: \[ S_{BCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (a\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2a^2 = \frac{\sqrt{3}a^2}{2} \] 3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD): - Gọi khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) là h. Thể tích của tứ diện ABCD cũng có thể được tính theo công thức: \[ V_{ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{BCD} \times h \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{a^3}{6} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}a^2}{2} \times h \] - Giải phương trình để tìm h: \[ \frac{a^3}{6} = \frac{\sqrt{3}a^2}{6} \times h \] \[ a^3 = \sqrt{3}a^2 \times h \] \[ h = \frac{a^3}{\sqrt{3}a^2} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) là $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.