Xhjx dnds sbjsjdiejendhdji Câu 1. Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối (họ nhớ,số cuối này khác 0). Họ đều thử ngẫu nhiên các chữ số từ 1 đến 9 và không lặp lại các số đã thử. Xác,suất để ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần là,$\frac m{81},$ tính m.,Câu 2. Trang trí một sân hình chữ nhật kích thước 20mx12m , trong đó hai Parabol (P) đối xứng với (1,$(P_2)$,qua đường thẳng đi qua hai trung điểm của chiều dài sân (hình vẽ), khoảng cách giữa hai đỉnh Parabol,bằng 4 m. Chi phí trang trí cho phần hoa văn là 180 ngàn đồng trên một mét vuông, phần trắng là 160,ngàn đồng trên một mét vuông. Tổng chi phí trang trí cho sân là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết,quả đến hàng phần mười),,Câu 3. Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí $M(5;0;0)$ trên một hòn đảo nhỏ trong không gian Oxyz (đơn vị,trên mỗi trục được tính bằng km), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch N,đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}lx=2+t\y=1-2t.\z=0\end{array} ight.$ Tàu,chở hàng P đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng,$d_2:\left\{\begin{array}lx=2-s\y=11+s\z=0\end{array} ight..$ Do thời tiết xấu, nên hai tàu N và P gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm,cứu hộ điều một tàu cứu hộ xuất phát từ M để lần lượt tiếp cận tàu du lịch N trước, sau đó đến tàu,chở hàng P . Xét vị trí tối ưu của tàu du lịch N dừng lại và tàu chở hàng P dừng lại sao cho tổng,quãng đường tàu cứu hộ cần đi $T=MN+NP+PM$ là nhỏ nhất. Khi đó $T_{\min}=\sqrt a(km),$ hãy tính,$a+2025?$,Câu 4. Vào ngày 01/02/2023, ông An vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 8%/ năm. Ông dùng toàn bộ,số tiền vay mua cổ phiếu mã CEO với giá 20 nghìn đồng/1 cổ phiếu. Đúng sau một năm, để trả nợ ngân,hàng ông An bán toàn bộ cổ phiếu đó với giá mỗi cổ phiếu là 22,3 nghìn đồng. Số tiền còn lại của ông,An sau khi đã trả nợ cho ngân hàng là bao nhiêu triệu đồng?,Câu 5. Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí M và N cách nhau 6 km. Một nhà máy cung cấp nước được,đặt ở vị trí P nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN , cách trung điểm I của đoạn thẳng NN,một khoảng 3 km. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước P đến một vị trí H,nằm giữa đoạn thẳng PI sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy M và N (hình vẽ). Tổng độ,dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Question

Xhjx dnds sbjsjdiejendhdji Câu 1. Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối (họ nhớ,số cuối này khác 0). Họ đều thử ngẫu nhiên các chữ số từ 1 đến 9 và không lặp lại các số đã thử. Xác,suất để ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần là,$\frac m{81},$ tính m.,Câu 2. Trang trí một sân hình chữ nhật kích thước 20mx12m , trong đó hai Parabol (P) đối xứng với (1,$(P_2)$,qua đường thẳng đi qua hai trung điểm của chiều dài sân (hình vẽ), khoảng cách giữa hai đỉnh Parabol,bằng 4 m. Chi phí trang trí cho phần hoa văn là 180 ngàn đồng trên một mét vuông, phần trắng là 160,ngàn đồng trên một mét vuông. Tổng chi phí trang trí cho sân là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết,quả đến hàng phần mười),<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/78c8157f13ba4ba494cab320ae433630.jpg />,Câu 3. Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí $M(5;0;0)$ trên một hòn đảo nhỏ trong không gian Oxyz (đơn vị,trên mỗi trục được tính bằng km), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch N,đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}lx=2+t\y=1-2t.\z=0\end{array}ight.$ Tàu,chở hàng P đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng,$d_2:\left\{\begin{array}lx=2-s\y=11+s\z=0\end{array}ight..$ Do thời tiết xấu, nên hai tàu N và P gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm,cứu hộ điều một tàu cứu hộ xuất phát từ M để lần lượt tiếp cận tàu du lịch N trước, sau đó đến tàu,chở hàng P . Xét vị trí tối ưu của tàu du lịch N dừng lại và tàu chở hàng P dừng lại sao cho tổng,quãng đường tàu cứu hộ cần đi $T=MN+NP+PM$ là nhỏ nhất. Khi đó $T_{\min}=\sqrt a(km),$ hãy tính,$a+2025?$,Câu 4. Vào ngày 01/02/2023, ông An vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 8%/ năm. Ông dùng toàn bộ,số tiền vay mua cổ phiếu mã CEO với giá 20 nghìn đồng/1 cổ phiếu. Đúng sau một năm, để trả nợ ngân,hàng ông An bán toàn bộ cổ phiếu đó với giá mỗi cổ phiếu là 22,3 nghìn đồng. Số tiền còn lại của ông,An sau khi đã trả nợ cho ngân hàng là bao nhiêu triệu đồng?,Câu 5. Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí M và N cách nhau 6 km. Một nhà máy cung cấp nước được,đặt ở vị trí P nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN , cách trung điểm I của đoạn thẳng NN,một khoảng 3 km. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước P đến một vị trí H,nằm giữa đoạn thẳng PI sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy M và N (hình vẽ). Tổng độ,dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Accepted Answer

Câu 1. Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối (họ nhớ số cuối này khác 0). Họ đều thử ngẫu nhiên các chữ số từ 1 đến 9 và không lặp lại các số đã thử. Xác suất để ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần là $\frac{m}{81}$, tính $m$.

Giải:
Gọi A là biến cố người thứ nhất gọi đúng số điện thoại, B là biến cố người thứ hai gọi đúng số điện thoại.
Ta cần tính xác suất $P(A \cup B)$ để ít nhất một trong hai người gọi đúng số điện thoại mà không phải thử quá hai lần.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Xác suất người thứ nhất gọi đúng số điện thoại trong 1 lần là $\frac{1}{9}$, trong 2 lần là $\frac{2}{9}$. Tương tự cho người thứ hai.
$P(A) = \frac{2}{9}$, $P(B) = \frac{2}{9}$
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{9} = \frac{4}{81}$
$P(A \cup B) = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} - \frac{4}{81} = \frac{36}{81} - \frac{4}{81} = \frac{32}{81}$
Vậy $\frac{m}{81} = \frac{32}{81}$, suy ra $m = 32$.

Câu 2. Trang trí một sân hình chữ nhật kích thước 20m×12m, trong đó hai Parabol $(P_1)$ đối xứng với $(P_2)$ qua đường thẳng đi qua hai trung điểm của chiều dài sân (hình vẽ), khoảng cách giữa hai đỉnh Parabol bằng 4 m. Chi phí trang trí cho phần hoa văn là 180 ngàn đồng trên một mét vuông, phần trắng là 160 ngàn đồng trên một mét vuông. Tổng chi phí trang trí cho sân là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Giải:
Diện tích sân hình chữ nhật: $20 imes 12 = 240 \ m^2$
Vì hai parabol đối xứng nhau, nên diện tích phần hoa văn bằng diện tích phần trắng.
Khoảng cách giữa hai đỉnh parabol là 4m, nên mỗi parabol có bề rộng 2m.
Diện tích phần hoa văn và phần trắng bằng nhau và bằng một nửa diện tích sân: $\frac{240}{2} = 120 \ m^2$
Chi phí cho phần hoa văn: $120 \ m^2 imes 180,000 \ đồng/m^2 = 21,600,000 \ đồng$
Chi phí cho phần trắng: $120 \ m^2 imes 160,000 \ đồng/m^2 = 19,200,000 \ đồng$
Tổng chi phí: $21,600,000 + 19,200,000 = 40,800,000 \ đồng = 40.8$ triệu đồng.

Câu 3. Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí $M(5;0;0)$ trên một hòn đảo nhỏ trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục được tính bằng km), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch N đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường thẳng $d_1: \begin{cases} x=2+t \ y=1-2t \ z=0 \end{cases}$. Tàu chở hàng P đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng $d_2: \begin{cases} x=2-s \ y=11+s \ z=0 \end{cases}$. Do thời tiết xấu, nên hai tàu N và P gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm cứu hộ điều một tàu cứu hộ xuất phát từ M để lần lượt tiếp cận tàu du lịch N trước, sau đó đến tàu chở hàng P. Xét vị trí tối ưu của tàu du lịch N dừng lại và tàu chở hàng P dừng lại sao cho tổng quãng đường tàu cứu hộ cần đi $T = MN + NP + PM$ là nhỏ nhất. Khi đó $T_{min} = \sqrt{a} (km)$, hãy tính $a+2025$?

Giải:
Điểm N có tọa độ $(2+t; 1-2t; 0)$, điểm P có tọa độ $(2-s; 11+s; 0)$.
$MN = \sqrt{(2+t-5)^2 + (1-2t-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(t-3)^2 + (1-2t)^2} = \sqrt{t^2 - 6t + 9 + 1 - 4t + 4t^2} = \sqrt{5t^2 - 10t + 10}$
$NP = \sqrt{(2-s-2-t)^2 + (11+s-1+2t)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-s-t)^2 + (10+s+2t)^2} = \sqrt{s^2 + 2st + t^2 + 100 + 20s + 40t + s^2 + 4st + 4t^2} = \sqrt{2s^2 + 6st + 5t^2 + 20s + 40t + 100}$
$PM = \sqrt{(2-s-5)^2 + (11+s-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-s-3)^2 + (11+s)^2} = \sqrt{s^2 + 6s + 9 + 121 + 22s + s^2} = \sqrt{2s^2 + 28s + 130}$
Để tìm giá trị nhỏ nhất của $T = MN + NP + PM$, ta cần tìm $t$ và $s$ sao cho biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất. Bài toán này khá phức tạp và cần sử dụng các phương pháp tối ưu để giải. Tuy nhiên, nếu đề bài cho thêm thông tin hoặc có cách tiếp cận khác, ta có thể giải quyết dễ dàng hơn.
Vì không đủ thông tin để tìm giá trị $t$ và $s$ cụ thể, mình không thể tính được $T_{min}$ và giá trị của $a$.

Câu 4. Vào ngày 01/02/2023, ông An vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 8%/ năm. Ông dùng toàn bộ số tiền vay mua cổ phiếu mã CEO với giá 20 nghìn đồng/1 cổ phiếu. Đúng sau một năm, để trả nợ ngân hàng ông An bán toàn bộ cổ phiếu đó với giá mỗi cổ phiếu là 22,3 nghìn đồng. Số tiền còn lại của ông An sau khi đã trả nợ cho ngân hàng là bao nhiêu triệu đồng?

Giải:
Số tiền ông An vay: 100 triệu đồng.
Lãi suất: 8%/năm.
Số tiền lãi sau 1 năm: $100 imes 8% = 8$ triệu đồng.
Tổng số tiền phải trả sau 1 năm: $100 + 8 = 108$ triệu đồng.
Số cổ phiếu mua được: $\frac{100,000,000}{20,000} = 5000$ cổ phiếu.
Số tiền bán cổ phiếu thu được: $5000 imes 22,300 = 111,500,000$ đồng.
Số tiền còn lại sau khi trả nợ: $111,500,000 - 108,000,000 = 3,500,000$ đồng = 3.5 triệu đồng.

Câu 5. Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí M và N cách nhau 6 km. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí P nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN, cách trung điểm I của đoạn thẳng MN một khoảng 3 km. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước P đến một vị trí H nằm giữa đoạn thẳng PI sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy M và N (hình vẽ). Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Giải:
$MN = 6$ km, $PI = 3$ km.
Gọi $I$ là trung điểm của $MN$, ta có $MI = NI = 3$ km.
Vì $P$ nằm trên đường trung trực của $MN$ và $PI = 3$ km, nên tam giác $PMN$ cân tại $P$.
Đặt $PH = x$, suy ra $HI = 3 - x$.
$MH = NH = \sqrt{MI^2 + HI^2} = \sqrt{3^2 + (3-x)^2} = \sqrt{9 + 9 - 6x + x^2} = \sqrt{x^2 - 6x + 18}$
Tổng độ dài đường ống: $T = PH + MH + NH = x + 2\sqrt{x^2 - 6x + 18}$
Để tìm giá trị nhỏ nhất của $T$, ta có thể sử dụng đạo hàm.
$T' = 1 + 2 \cdot \frac{2x - 6}{2\sqrt{x^2 - 6x + 18}} = 1 + \frac{2x - 6}{\sqrt{x^2 - 6x + 18}}$
Giải phương trình $T' = 0$:
$\frac{2x - 6}{\sqrt{x^2 - 6x + 18}} = -1$
$2x - 6 = -\sqrt{x^2 - 6x + 18}$
$(2x - 6)^2 = x^2 - 6x + 18$
$4x^2 - 24x + 36 = x^2 - 6x + 18$
$3x^2 - 18x + 18 = 0$
$x^2 - 6x + 6 = 0$
$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$
Vì $H$ nằm giữa $P$ và $I$ nên $0 \le x \le 3$, vậy $x = 3 - \sqrt{3} \approx 1.268$
$MH = \sqrt{(3 - \sqrt{3})^2 - 6(3 - \sqrt{3}) + 18} = \sqrt{9 - 6\sqrt{3} + 3 - 18 + 6\sqrt{3} + 18} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
$T = 3 - \sqrt{3} + 2 \cdot 2\sqrt{3} = 3 - \sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 3 + 3\sqrt{3} \approx 3 + 3(1.732) = 3 + 5.196 = 8.196 \approx 8.2$ km