giải và giải thích

Câu 2: Để giải quyết các câu hỏi, ta cần phân tích đồ thị của đạo hàm \( y = f'(x) \). a) \( f'(x) = 0 \) khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 1 \). Đồ thị của \( f'(x) \) là một parabol đi qua gốc tọa độ \( O(0,0) \) và cắt trục hoành tại \( A(1,0) \). Do đó, phương trình của parabol có dạng: \[ f'(x) = a(x-0)(x-1) = ax(x-1) = ax^2 - ax. \] Vậy, \( f'(x) = 0 \) khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 1 \). Câu a đúng. b) Hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên \( (0;1) \). Để hàm số nghịch biến trên khoảng \( (0;1) \), cần \( f'(x) < 0 \) trên khoảng này. Từ đồ thị, ta thấy parabol nằm dưới trục hoành trên khoảng \( (0;1) \). Do đó, \( f'(x) < 0 \) trên \( (0;1) \). Câu b đúng. c) Hàm số \( y = f(x) \) có 2 điểm cực trị. Hàm số có cực trị tại các điểm mà \( f'(x) = 0 \) và đổi dấu. Từ đồ thị, \( f'(x) = 0 \) tại \( x = 0 \) và \( x = 1 \). - Tại \( x = 0 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương (điểm cực tiểu). - Tại \( x = 1 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm (điểm cực đại). Vậy, hàm số có 2 điểm cực trị. Câu c đúng. d) \( f\left(\frac{1}{2}\right) > f(1) \). Để so sánh \( f\left(\frac{1}{2}\right) \) và \( f(1) \), ta xét dấu của \( f'(x) \) trên đoạn \( \left[\frac{1}{2}, 1\right] \). - Trên \( \left(\frac{1}{2}, 1\right) \), \( f'(x) > 0 \) (vì parabol nằm trên trục hoành). Điều này cho thấy hàm số \( f(x) \) đồng biến trên \( \left(\frac{1}{2}, 1\right) \), do đó: \[ f\left(\frac{1}{2}\right) < f(1). \] Câu d sai. Tóm lại, các câu đúng là a, b, c. Câu 3: a) Tập xác định của hàm số \( y = f(x) \) là \( D = \mathbb{R} \). Lập luận: Hàm số \( f(x) = -x^3 + 2x^2 - 6x + 2 \) là một đa thức, do đó nó xác định với mọi giá trị thực của \( x \). Vậy tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \). b) Hàm số \( y = f(x) \) luôn luôn đồng biến trên tập xác định. Lập luận: Để kiểm tra tính đồng biến của hàm số, ta cần xét đạo hàm bậc nhất của \( f(x) \): \[ f'(x) = -3x^2 + 4x - 6 \] Ta cần kiểm tra dấu của \( f'(x) \): \[ f'(x) = -3x^2 + 4x - 6 \] Phương trình \( -3x^2 + 4x - 6 = 0 \) có biệt thức: \[ \Delta = 4^2 - 4(-3)(-6) = 16 - 72 = -56 \] Vì \( \Delta < 0 \), phương trình \( f'(x) = 0 \) vô nghiệm, tức là \( f'(x) \) không đổi dấu. Do hệ số của \( x^2 \) trong \( f'(x) \) là âm (\( -3 \)), \( f'(x) \) luôn âm. Điều này có nghĩa là \( f(x) \) luôn giảm trên toàn bộ tập xác định \( \mathbb{R} \). Do đó, khẳng định "Hàm số \( y = f(x) \) luôn luôn đồng biến trên tập xác định" là sai. c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên \([-2; 3]\) bằng 30. Lập luận: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([-2; 3]\), ta cần kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm đầu và cuối của đoạn, cũng như tại các điểm cực trị (nếu có). Tuy nhiên, vì \( f(x) \) luôn giảm trên toàn bộ tập xác định, giá trị nhỏ nhất sẽ nằm ở điểm cuối cùng của đoạn, tức là tại \( x = 3 \): \[ f(3) = -(3)^3 + 2(3)^2 - 6(3) + 2 = -27 + 18 - 18 + 2 = -25 \] Do đó, khẳng định "Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên \([-2; 3]\) bằng 30" là sai. d) Giá trị lớn nhất của hàm số \( g(x) = f(f(x)) \) trên \([-1; 1]\) bằng 65. Lập luận: Để tìm giá trị lớn nhất của \( g(x) = f(f(x)) \) trên đoạn \([-1; 1]\), ta cần kiểm tra giá trị của \( g(x) \) tại các điểm đầu và cuối của đoạn, cũng như tại các điểm cực trị (nếu có). Tuy nhiên, vì \( f(x) \) luôn giảm trên toàn bộ tập xác định, \( f(f(x)) \) cũng sẽ luôn giảm. Giá trị lớn nhất sẽ nằm ở điểm đầu của đoạn, tức là tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = -(-1)^3 + 2(-1)^2 - 6(-1) + 2 = 1 + 2 + 6 + 2 = 11 \] \[ g(-1) = f(f(-1)) = f(11) = -(11)^3 + 2(11)^2 - 6(11) + 2 = -1331 + 242 - 66 + 2 = -1153 \] Do đó, khẳng định "Giá trị lớn nhất của hàm số \( g(x) = f(f(x)) \) trên \([-1; 1]\) bằng 65" là sai. Kết luận: Các khẳng định đúng là: a) Tập xác định của hàm số \( y = f(x) \) là \( D = \mathbb{R} \).