giảo và giải thích chi tiết

Câu 1: Để xác định hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần kiểm tra tính đơn điệu của từng hàm số bằng cách xét đạo hàm của chúng. A. $y = x^2$ - Đạo hàm: $y' = 2x$ - Ta thấy $y' > 0$ khi $x > 0$ và $y' < 0$ khi $x < 0$. Do đó, hàm số này không nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. B. $y = \frac{2x+1}{x-1}$ - Điều kiện xác định: $x \neq 1$ - Đạo hàm: $y' = \frac{(2)(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$ - Ta thấy $y' < 0$ khi $x \neq 1$. Tuy nhiên, do hàm số không xác định tại $x = 1$, nên nó không nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. C. $y = -x^3 - 2x$ - Đạo hàm: $y' = -3x^2 - 2$ - Ta thấy $y' = -3x^2 - 2$ luôn âm vì $-3x^2 \leq 0$ và $-2 < 0$. Do đó, $y' < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Hàm số này nghịch biến trên $\mathbb{R}$. D. $y = x^3$ - Đạo hàm: $y' = 3x^2$ - Ta thấy $y' > 0$ khi $x \neq 0$ và $y' = 0$ khi $x = 0$. Do đó, hàm số này không nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Kết luận: Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $y = -x^3 - 2x$. Đáp án đúng là: $C.~y=-x^3-2x$. Câu 2: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần quan sát đồ thị của hàm số. 1. Đồng biến: Hàm số đồng biến trên một khoảng khi đồ thị đi lên từ trái sang phải trên khoảng đó. Quan sát đồ thị: - Từ \(-\infty\) đến \(0\), đồ thị đi lên, sau đó đi xuống. Do đó, hàm số không đồng biến trên khoảng này. - Từ \(0\) đến \(1\), đồ thị đi lên. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. - Từ \(1\) đến \(2\), đồ thị đi xuống. Do đó, hàm số không đồng biến trên khoảng này. - Từ \(2\) đến \(+\infty\), đồ thị đi lên. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. Kết luận: Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \((0; 1)\) và \((2; +\infty)\). Trong các đáp án đã cho, không có khoảng \((0; 1)\) hoặc \((2; +\infty)\), nhưng nếu chỉ xét các khoảng đã cho, thì hàm số đồng biến trên khoảng \((0; 2)\) từ \(0\) đến \(1\). Vậy đáp án đúng là \( B.~(0; 2) \). Câu 3: Để xác định điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) \) dựa vào bảng biến thiên, ta cần xem xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). 1. Xét khoảng \((- \infty, 0)\): - \( f'(x) < 0 \) nên hàm số giảm. 2. Tại \( x = 0 \): - \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = 0 \) là điểm cực tiểu. 3. Xét khoảng \((0, 1)\): - \( f'(x) > 0 \) nên hàm số tăng. 4. Tại \( x = 1 \): - \( f'(x) = 0 \) và đổi dấu từ dương sang âm, nên \( x = 1 \) là điểm cực đại. 5. Xét khoảng \((1, +\infty)\): - \( f'(x) < 0 \) nên hàm số giảm. Từ phân tích trên, hàm số \( y = f(x) \) đạt cực đại tại \( x = 1 \). Vậy đáp án đúng là \( C.~x=1. \)