Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 31: a) Ta có $$ nên tứ giác PQOR nội tiếp đường tròn. b) Ta có $$ nên IP là phân giác của góc $$. Ta có $$ (cùng chắn cung QN) và $$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $$. Lại có $$ (cùng chắn cung PQ) nên $$. Do đó tam giác PQM cân tại P, suy ra PQ = PM. Tương tự ta có tam giác PRN cân tại P, suy ra PR = PN. Vậy $$. c) Ta có $$ (cùng chắn cung MR) và $$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $$. Do đó tam giác KMR đồng dạng với tam giác KQM (g.g) nên $$, suy ra $$. Ta có $$ (cùng chắn cung PQ) và $$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $$. Do đó tam giác KQR đồng dạng với tam giác KPQ (g.g) nên $$, suy ra $$. Vậy $$, suy ra $$, suy ra $$. Do đó tam giác KRM đồng dạng với tam giác KRP (cạnh và hai tỉ số cạnh) nên $$. Ta có $$ (chứng minh trên) và $$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $$. Do đó tam giác KRM đồng dạng với tam giác KRP (g.g) nên $$, suy ra $$. Ta có $$ (chứng minh trên) và $$ (chứng minh trên) nên $$, suy ra $$. Ta có $$ (chứng minh trên) và $$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $$. Vậy $$. Bài 32: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chứng minh tứ giác OBMC là tứ giác nội tiếp - Xét tam giác $$: - $$ và $$ là bán kính của đường tròn $$, do đó $$. - $$ và $$ là các tiếp tuyến từ điểm $$ đến đường tròn $$, do đó $$. - Vì $$ và $$, tam giác $$ và $$ đều là tam giác cân tại $$ và $$. - Do đó, góc $$ và góc $$. - Kết hợp các góc này, ta có: $$ - Điều này chứng tỏ rằng tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp. Bước 2: Chứng minh $$ - Vì $$ là trung điểm của $$, nên $$. - Xét tam giác $$: - $$ là trung điểm của $$, do đó $$ là đường trung tuyến của tam giác $$. - Vì $$ là đường trung tuyến, nên $$ (góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung $$). Bước 3: Chứng minh $$ - Xét tam giác $$: - $$ là trung điểm của $$, do đó $$ là đường trung tuyến của tam giác $$. - Vì $$ là đường trung tuyến, nên $$ (góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung $$). - Xét tam giác $$: - $$ là điểm thứ hai trên đường tròn $$ khi tia $$ cắt lại đường tròn. - Vì $$, nên $$. - Do đó, $$ (vì hai góc so le trong bằng nhau). Kết luận: - Tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp. - $$. - $$. Đáp số: Tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp, $$, và $$. Bài 33: a) Chứng minh rằng tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn: - Xét tam giác OMA và tam giác OMB: + OA = OB (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn (O)) + MA = MB (vì MA và MB là hai tiếp tuyến vẽ từ một điểm ngoài đường tròn) + OM chung Vậy tam giác OMA và tam giác OMB bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông) Suy ra $$ - Vì $$ và $$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại tiếp điểm) - Do đó, $$ - Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn (tổng hai góc đối bằng 180°) b) Chứng minh rằng OM vuông góc với AB và tính độ dài đoạn thẳng MH: - Ta đã chứng minh tam giác OMA và tam giác OMB bằng nhau, do đó OM là trục đối xứng của tam giác OAB. - Suy ra OM vuông góc với AB tại H. - Trong tam giác vuông OMA, ta có: + $$ cm + $$ cm + Áp dụng định lý Pythagoras: $$ - Trong tam giác vuông OAH, ta có: + $$ cm + $$ cm + Áp dụng định lý Pythagoras: $$ - Vì OM là trục đối xứng của tam giác OAB, nên H là trung điểm của AB. - Suy ra $$ cm c) Chứng minh $$: - Xét tam giác MHC và tam giác MDO: + $$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) + $$ (góc giữa hai tiếp tuyến) + Vậy tam giác MHC và tam giác MDO đồng dạng (góc - góc) - Suy ra $$ Đáp số: a) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. b) OM vuông góc với AB và $$ cm. c) $$. Bài 34: a) Ta có $$ (gt) $$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) Mà $$ (cung đối đỉnh) $$ $$ $$ $$ (tính chất góc nội tiếp) $$ (đối đỉnh) $$ Tứ giác AIOC nội tiếp (cặp góc đối bằng nhau) b) Ta có $$ (giao điểm của hai tiếp tuyến) $$ (chứng minh trên) $$ (g-g) $$ Mà $$ (cùng bằng bán kính) $$ $$ $$ Tứ giác MNOH nội tiếp (tỷ lệ thức đường kính và dây)