giải phương trình lớp 9

Câu 5: a. Ta xét phương trình $x^2-(2m+1)x+m^2+m-1=0$. Để phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, ta cần tính $\Delta$: $\Delta = (2m+1)^2 - 4(m^2+m-1) = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 4m + 4 = 5 > 0$. Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. b. Gọi $x_1, x_2$ là các nghiệm của phương trình. Ta có: $x_1 + x_2 = 2m + 1$, $x_1x_2 = m^2 + m - 1$. Biểu thức $A = (2x_1 - x_2)(2x_2 - x_1)$ có thể viết lại thành: $A = 4x_1x_2 - 2x_1^2 - 2x_2^2 + x_1x_2 = 5x_1x_2 - 2(x_1^2 + x_2^2)$. Ta biết rằng $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$, nên: $x_1^2 + x_2^2 = (2m + 1)^2 - 2(m^2 + m - 1) = 4m^2 + 4m + 1 - 2m^2 - 2m + 2 = 2m^2 + 2m + 3$. Do đó: $A = 5(m^2 + m - 1) - 2(2m^2 + 2m + 3) = 5m^2 + 5m - 5 - 4m^2 - 4m - 6 = m^2 + m - 11$. Để $A$ có giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của $m$ sao cho $m^2 + m - 11$ nhỏ nhất. Ta sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương: $m^2 + m - 11 = (m + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 11 = (m + \frac{1}{2})^2 - \frac{45}{4}$. Giá trị nhỏ nhất của $(m + \frac{1}{2})^2$ là 0, xảy ra khi $m = -\frac{1}{2}$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $A$ là $-\frac{45}{4}$, đạt được khi $m = -\frac{1}{2}$. Đáp số: $m = -\frac{1}{2}$.