Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 3.( 3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn $(AB

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 3.( 3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn $(AB<AC)$ có đường cao AD và đường phân giác trong AO ( D , O,thuộc cạnh BC ). Kẻ OM vuông góc AB tại M , ON vuông góc AC tại N .,1) Chứng minh bốn điểm O, M, D, N cùng nằm trên một đường tròn.,2) Chứng minh: $\widehat{BDM}=\widehat{ODN}$,3) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I , AI cắt BC tại K . Chứng minh K là trung,điểm của BC .

Accepted Answer

Câu 3.
1) Ta có: $\widehat{OMA}=\widehat{OND}=90^\circ$
$\Rightarrow$ Bốn điểm O, M, D, N cùng nằm trên một đường tròn (cùng chắn cung ON)
2) Ta có: $\widehat{BDM}=\widehat{ONM}$ (cùng chắn cung OM)
$\widehat{ONM}=\widehat{ODN}$ (góc ngoài tam giác OND bằng góc trong không kề với nó)
$\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{ODN}$
3) Ta có: $\widehat{BDM}=\widehat{ODN}$ (chứng minh ở trên)
$\widehat{DBM}=\widehat{NDK}$ (cùng phụ với $\widehat{ABD}$)
$\Rightarrow 	riangle DBM=	riangle DKN$ (góc - cạnh - góc)
$\Rightarrow DM=DN$
$\Rightarrow 	riangle DMN$ cân tại D
$\Rightarrow DI$ là đường cao đồng thời là đường phân giác của $	riangle DMN$
$\Rightarrow \widehat{MIA}=\widehat{NIA}$
$\Rightarrow AK$ là đường phân giác của $	riangle AMN$
$\Rightarrow \frac{BK}{CK}=\frac{BM}{CN}$
Ta có: $\widehat{OMB}=\widehat{ONC}=90^\circ$
$\widehat{OBM}=\widehat{OCN}$ (vì AO là tia phân giác của $\widehat{BAC}$)
$\Rightarrow 	riangle OMB=	riangle ONC$ (góc - cạnh - góc)
$\Rightarrow BM=CN$
$\Rightarrow \frac{BK}{CK}=1$
$\Rightarrow BK=CK$
$\Rightarrow K$ là trung điểm của BC