Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:$ab+bc+ca\ge\frac{9abc}{a+b+c}$

Vì $a, b, c > 0$, ta có $a+b+c > 0$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 9abc \quad (*)$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cô-si) cho ba số dương $a, b, c$, ta có:

$a+b+c \ge 3\sqrt{abc} \quad (1)$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cô-si) cho ba số dương $ab, bc, ca$, ta có:

$ab+bc+ca \ge 3\sqrt{(ab)(bc)(ca)} = 3\sqrt{a^2b^2c^2} \quad (2)$

$(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 3\sqrt{abc} \cdot 3\sqrt{a^2b^2c^2}$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 9\sqrt{a^3b^3c^3}$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 9abc$

Bất đẳng thức $(*)$ luôn đúng. bất đẳng thức ban đầu đã được chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} a = b = c \\ ab = bc = ca \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c$.