Giúp mình với ạ Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $d:\frac x1=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{-2}$ và mặt phẳng (P) đi qua,ba điểm $A(0;-3;0),~B(-1;-1;0)$ và $C(0;-1;1)$ Giả sử $I(a;b;c)$ là giao điểm của đường thẳng d và,mặt phẳng (P) . Tính $a+2b+3c?$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 1.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình của mặt phẳng (P):
   - Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm $ A(0, -3, 0) $, $ B(-1, -1, 0) $, và $ C(0, -1, 1) $.

Ta có hai vectơ trong mặt phẳng (P):
   $$
   \overrightarrow{AB} = (-1 - 0, -1 + 3, 0 - 0) = (-1, 2, 0)
   $$
   $$
   \overrightarrow{AC} = (0 - 0, -1 + 3, 1 - 0) = (0, 2, 1)
   $$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
   $$
   \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 
   \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   -1 & 2 & 0 \
   0 & 2 & 1
   \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 - 0 \cdot 2)\mathbf{i} - (-1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (-1 \cdot 2 - 2 \cdot 0)\mathbf{k} = (2, 1, -2)
   $$

Phương trình mặt phẳng (P) là:
   $$
   2(x - 0) + 1(y + 3) - 2(z - 0) = 0 \implies 2x + y + 3 - 2z = 0 \implies 2x + y - 2z + 3 = 0
   $$

2. Tìm tọa độ giao điểm $ I(a, b, c) $ của đường thẳng $ d $ và mặt phẳng (P):
   - Đường thẳng $ d $ có phương trình tham số:
     $$
     x = t, \quad y = -2 - t, \quad z = 3 - 2t
     $$

Thay vào phương trình mặt phẳng (P):
   $$
   2(t) + (-2 - t) - 2(3 - 2t) + 3 = 0
   $$
   $$
   2t - 2 - t - 6 + 4t + 3 = 0
   $$
   $$
   5t - 5 = 0 \implies t = 1
   $$

Thay $ t = 1 $ vào phương trình tham số của đường thẳng $ d $:
   $$
   x = 1, \quad y = -2 - 1 = -3, \quad z = 3 - 2 \cdot 1 = 1
   $$

Vậy giao điểm $ I $ có tọa độ $ (1, -3, 1) $.

3. Tính $ a + 2b + 3c $:
   $$
   a + 2b + 3c = 1 + 2(-3) + 3(1) = 1 - 6 + 3 = -2
   $$

Đáp số: $ a + 2b + 3c = -2 $.