giup e voiii

Câu 1. Câu hỏi: Cho elip $$ Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) Điểm A(0,3) thuộc elip (E). b) Cho M là điểm thuộc (E) thỏa mãn $$. Khi đó $$. c) Elip (E) có tiêu điểm $$ và $$. d) Khoảng cách giữa hai tiêu điểm của elip (E) bằng 4. Câu trả lời: a) Ta kiểm tra xem điểm A(0,3) có thuộc elip (E) hay không bằng cách thay tọa độ của điểm A vào phương trình của elip: $$ Vậy điểm A(0,3) thuộc elip (E). Mệnh đề này là Đúng. b) Ta biết rằng tổng khoảng cách từ một điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm là hằng số và bằng 2a. Với elip (E), ta có: $$ Do đó, tổng khoảng cách từ một điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm là: $$ Giả sử M là điểm thuộc (E) thỏa mãn $$. Ta có: $$ Từ đây, ta suy ra: $$ Vậy $$. Mệnh đề này là Đúng. c) Ta tính khoảng cách giữa hai tiêu điểm của elip (E). Ta có: $$ Vậy hai tiêu điểm của elip (E) là $$ và $$. Mệnh đề này là Sai. d) Khoảng cách giữa hai tiêu điểm của elip (E) là: $$ Mệnh đề này là Sai. Đáp số: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Câu 2. a) Khoảng cách từ điểm $$ đến đường thẳng $$ được tính bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: $$ Do đó, mệnh đề này sai vì khoảng cách thực tế là $$, không phải $$. b) Đường thẳng $$ có vectơ pháp tuyến là $$. Do đó, mệnh đề này đúng. c) Phương trình đường thẳng đi qua điểm $$ và song song với đường thẳng $$ sẽ có cùng vectơ pháp tuyến $$. Phương trình của đường thẳng này có dạng: $$ $$ $$ Do đó, mệnh đề này sai vì phương trình đúng là $$, không phải $$. d) Để kiểm tra xem điểm $$ có thuộc đường thẳng $$ hay không, ta thay tọa độ của điểm $$ vào phương trình của đường thẳng: $$ Do đó, mệnh đề này sai vì điểm $$ không thuộc đường thẳng $$. Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai Câu 1. Để tìm bán kính của đường tròn đi qua ba điểm $$, $$ và $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $$ và $$: - Điểm $$ và $$ có cùng hoành độ $$. Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này là $$. 2. Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $$ và $$: - Điểm $$ và $$ có cùng hoành độ $$. Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này là $$. 3. Tìm tâm đường tròn: - Tâm đường tròn nằm ở giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng $$ và đoạn thẳng $$. - Đường trung trực của đoạn thẳng $$ là đường thẳng vuông góc với $$ và đi qua trung điểm của $$. Trung điểm của $$ là $$. Vì $$ song song với trục $$, đường trung trực của $$ sẽ song song với trục $$ và đi qua $$. Do đó, phương trình đường trung trực của $$ là $$. - Đường trung trực của đoạn thẳng $$ là đường thẳng vuông góc với $$ và đi qua trung điểm của $$. Trung điểm của $$ là $$. Vì $$ song song với trục $$, đường trung trực của $$ sẽ song song với trục $$ và đi qua $$. Do đó, phương trình đường trung trực của $$ là $$. Giao điểm của hai đường trung trực $$ và $$ là tâm đường tròn $$. 4. Tính bán kính đường tròn: - Bán kính đường tròn là khoảng cách từ tâm $$ đến bất kỳ một trong ba điểm $$, $$, hoặc $$. - Ta tính khoảng cách từ $$ đến $$: $$ Do đó, bán kính của đường tròn là $$. Vậy $$. Đáp số: $$. Câu 2. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm của tam giác là điểm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh A, B và C. Giả sử tọa độ của đỉnh C là $$. Vì trọng tâm G là gốc tọa độ (0,0), ta có: $$ Từ đây, ta có hai phương trình: $$ Giải phương trình đầu tiên: $$ Giải phương trình thứ hai: $$ Vậy tọa độ của đỉnh C là $$. Tổng của tung độ và hoành độ của đỉnh C là: $$ Đáp số: 2 Câu 3. Để tính góc giữa hai đường thẳng $$ và $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình tham số của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng $$ có phương trình tham số: $$ - Đường thẳng $$ có phương trình tham số: $$ 2. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Vectơ chỉ phương của $$ là $$. - Vectơ chỉ phương của $$ là $$. 3. Tính góc giữa hai vectơ chỉ phương: - Công thức tính góc giữa hai vectơ $$ và $$ là: $$ - Tích vô hướng $$: $$ - Độ dài của $$: $$ - Độ dài của $$: $$ - Thay vào công thức: $$ 4. Tính góc $$: - Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $$: $$ - Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị độ: $$ Vậy góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ là $$. Câu 4. Để tính tổng các giá trị $$ sao cho đường thẳng $$ tiếp xúc với đường tròn $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn: Đường tròn $$ có tâm $$ và bán kính $$. 2. Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng và đường tròn: Đường thẳng $$ tiếp xúc với đường tròn $$ khi khoảng cách từ tâm $$ đến đường thẳng $$ bằng bán kính $$. 3. Tính khoảng cách từ tâm $$ đến đường thẳng $$: Khoảng cách $$ từ điểm $$ đến đường thẳng $$ được tính bằng công thức: $$ Ở đây, tâm $$ và đường thẳng $$: $$ 4. Áp dụng điều kiện tiếp xúc: Để đường thẳng $$ tiếp xúc với đường tròn $$, khoảng cách $$ phải bằng bán kính $$: $$ Giải phương trình này: $$ Điều này dẫn đến hai trường hợp: $$ 5. Tổng các giá trị $$: Tổng các giá trị $$ là: $$ Vậy tổng các giá trị $$ để đường thẳng $$ tiếp xúc với đường tròn $$ là $$. Câu 1. Để viết phương trình của đường tròn có tâm $$ và đi qua điểm $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm bán kính của đường tròn: Bán kính $$ của đường tròn là khoảng cách từ tâm $$ đến điểm $$. Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm: $$ Thay tọa độ của tâm $$ và điểm $$: $$ 2. Viết phương trình đường tròn: Phương trình đường tròn có tâm $$ và bán kính $$ là: $$ Thay $$, $$, và $$: $$ $$ Vậy phương trình của đường tròn là: $$ Câu 2. Để viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm $$ và vuông góc với đoạn thẳng $$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của đoạn thẳng $$: - Vectơ $$ có tọa độ là: $$ - Vectơ pháp tuyến của đoạn thẳng $$ sẽ là $$. 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $$ và có vectơ pháp tuyến $$: - Phương trình đường thẳng có dạng $$, trong đó $$. - Thay $$, $$ và điểm $$ vào phương trình: $$ - Thay tọa độ của điểm $$ vào phương trình để tìm $$: $$ 3. Viết phương trình cuối cùng: - Phương trình đường thẳng đi qua điểm $$ và vuông góc với đoạn thẳng $$ là: $$ Đáp số: $$ Câu 3. Để chứng minh rằng lưỡi câu của Minh không thể rơi vào khu vực nuôi vịt của ông bà ngoại, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách từ điểm M đến các đỉnh của hình chữ nhật ABCD: - Điểm M nằm trên cạnh AD, cách A một khoảng 3m. Do đó, M có tọa độ (3, 0) nếu coi A là gốc tọa độ (0, 0). 2. Tính khoảng cách từ M đến các đỉnh B, C, D: - Khoảng cách từ M đến B: $$ Ta thấy $$. - Khoảng cách từ M đến C: $$ Ta thấy $$. - Khoảng cách từ M đến D: $$ Ta thấy $$. 3. Xác định khu vực nuôi vịt (tam giác CEF): - Điểm E nằm trên cạnh BC, cách B một khoảng 5m. Do đó, E có tọa độ (20, 5). - Điểm F nằm trên cạnh CD, cách D một khoảng 8m. Do đó, F có tọa độ (12, 16). 4. Tính khoảng cách từ M đến các đỉnh E và F: - Khoảng cách từ M đến E: $$ Ta thấy $$. - Khoảng cách từ M đến F: $$ Ta thấy $$. 5. Kết luận: - Vì tất cả các khoảng cách từ M đến các đỉnh của hình chữ nhật ABCD và các đỉnh của tam giác CEF đều lớn hơn 12,5m, nên lưỡi câu của Minh không thể rơi vào khu vực nuôi vịt của ông bà ngoại. Do đó, lưỡi câu của Minh không thể rơi vào khu vực nuôi vịt của ông bà ngoại.