Câu 4:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm số học sinh tham gia mỗi biến cố:
- Số học sinh tham gia câu lạc bộ cầu lông: 25 học sinh.
- Số học sinh tham gia câu lạc bộ đá bóng: 16 học sinh.
- Số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ: 12 học sinh.
2. Tính xác suất của các biến cố:
- Tổng số học sinh trong lớp: 40 học sinh.
a) Tính xác suất :
b) Tính xác suất :
c) Tính xác suất :
d) Tính xác suất :
3. Kiểm tra lại các đáp án:
-
-
-
-
Như vậy, các đáp án đúng là:
-
-
-
-
Đáp án:
a)
b)
c)
d)
Câu 1:
Để tính tích phân , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định dấu của biểu thức trên khoảng .
- Ta thấy tại và .
- Trên khoảng , ta có .
- Trên các khoảng và , ta có .
Bước 2: Chia tích phân thành các phần tương ứng với các khoảng đã xác định:
Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ:
1. Tính :
2. Tính :
3. Tính :
Bước 4: Cộng các kết quả lại:
Vậy tích phân .
Câu 2:
Để tính , ta cần biết xác suất của sự kiện xảy ra khi biết rằng sự kiện đã xảy ra. Công thức để tính xác suất điều kiện là:
Trước tiên, ta cần tìm . Ta sử dụng công thức cộng xác suất cho hai sự kiện:
Thay các giá trị đã cho vào công thức:
Quy đồng mẫu số để thực hiện phép tính:
Di chuyển sang vế trái:
Quy đồng mẫu số:
Bây giờ, ta có thể tính :
Vậy, xác suất của sự kiện xảy ra khi biết rằng sự kiện đã xảy ra là:
Câu 3:
Để tính góc giữa hai đường thẳng và trong không gian, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng:
- Đường thẳng có phương trình tham số:
Vectơ chỉ phương của là .
- Đường thẳng có phương trình tham số:
Vectơ chỉ phương của là .
2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương:
3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương:
4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương:
5. Tính góc giữa hai đường thẳng:
6. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục:
Vậy góc giữa đường thẳng và đường thẳng là .
Câu 4:
Để tìm góc giữa đường ống nước và mặt phẳng nằm ngang (Oyz), ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng AB:
Vector có tọa độ:
2. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz):
Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là . Do đó, vector pháp tuyến của mặt phẳng này là .
3. Tính cosin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Gọi là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oyz). Ta có:
Tính tích vô hướng :
Tính độ dài của :
Độ dài của :
Vậy:
4. Tính góc :
Sử dụng máy tính để tìm giá trị của :
Do đó, đường ống nước nghiêng khoảng 37 độ so với mặt phẳng nằm ngang (Oyz).
Đáp số: 37 độ.
Câu 5:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định tọa độ của các điểm A, B, C.
2. Xác định điều kiện để H là trực tâm của tam giác ABC.
3. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
4. Tính tổng .
Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm A, B, C.
- Điểm A nằm trên trục Ox, nên có tọa độ .
- Điểm B nằm trên trục Oy, nên có tọa độ .
- Điểm C nằm trên trục Oz, nên có tọa độ .
Bước 2: Xác định điều kiện để H là trực tâm của tam giác ABC.
- H là trực tâm của tam giác ABC, tức là H là giao điểm của các đường cao hạ từ các đỉnh của tam giác ABC.
- Điều này có nghĩa là các đoạn thẳng AH, BH, CH vuông góc với các cạnh tương ứng của tam giác ABC.
Ta có:
-
-
Do , ta có:
Tương tự, ta có:
-
-
Do , ta có:
Cuối cùng, ta có:
-
-
Do , ta có:
Bước 3: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
- Ta đã có và .
- Chọn , ta có và .
Vậy tọa độ của các điểm là:
-
-
-
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có dạng:
Nhân cả hai vế với 6, ta được:
Bước 4: Tính tổng .
- Phương trình mặt phẳng là .
- So sánh với , ta có , , .
Vậy .
Đáp số: .
Câu 6:
Để tính xác suất người đó mắc bệnh phổi, ta sẽ áp dụng quy tắc xác suất tổng và xác suất điều kiện.
Gọi:
- là sự kiện "người dân của tỉnh đó nghiện thuốc lá".
- là sự kiện "người dân của tỉnh đó mắc bệnh phổi".
Ta biết:
-
- (tỉ lệ người mắc bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá)
- (tỉ lệ người không mắc bệnh phổi trong số người không nghiện thuốc lá)
Từ đây, ta có:
Xác suất người đó mắc bệnh phổi được tính theo quy tắc xác suất tổng:
Trong đó:
Thay các giá trị vào công thức:
Làm tròn đến hàng phần trăm:
Vậy xác suất người đó mắc bệnh phổi là 0,29 hoặc 29%.