xfuxfcuyxyxxfy

Câu 13. a) Đúng vì $$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $$. b) Sai vì đường thẳng qua $$ và vuông góc với $$ có phương trình là $$. c) Đúng vì đường tròn tâm $$ và tiếp xúc với $$ có phương trình là $$. d) Đúng vì đường thẳng đi qua $$ và tạo với $$ một góc $$ có phương trình là $$ hoặc $$. Câu 14. a) Số cách chọn từ hộp I là 10 cách (4 viên bi đỏ + 6 viên bi xanh). Số cách chọn từ hộp II là 10 cách (7 viên bi đỏ + 3 viên bi xanh). Vậy số cách chọn từ mỗi hộp một viên bi là: $$ b) Số cách chọn 2 viên bi từ hộp I là: $$ Số cách chọn 2 viên bi từ hộp II là: $$ Vậy số cách chọn từ mỗi hộp hai viên bi là: $$ c) Số cách chọn 2 viên bi đỏ từ hộp I là: $$ Số cách chọn 2 viên bi xanh từ hộp I là: $$ Số cách chọn 2 viên bi đỏ từ hộp II là: $$ Số cách chọn 2 viên bi xanh từ hộp II là: $$ Vậy số cách chọn từ mỗi hộp hai viên bi sao cho bốn viên bi cùng màu là: $$ d) Xác suất bốn viên bi chọn ra có đủ hai màu là: $$ Đáp số: a) 100 cách b) 2025 cách c) 504 cách d) $$ Câu 15. Để tìm hệ số của $$ trong khai triển $$, ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức nhị thức Newton cho khai triển $$ là: $$ Trong trường hợp này, ta có $$, $$, và $$. Ta cần tìm hệ số của $$, tức là tìm hệ số của $$ trong khai triển. Ta sẽ xem xét từng hạng tử trong khai triển: $$ Chúng ta cần tìm hạng tử chứa $$. Điều này xảy ra khi $$, tức là $$. Vậy, hạng tử chứa $$ là: $$ Tính toán cụ thể: $$ $$ $$ Nhân các thành phần lại với nhau: $$ Vậy hệ số của $$ trong khai triển $$ là 384. Đáp số: 384 Câu 16. Để tính xác suất để 2 học sinh nam ngồi ở đầu hàng và cuối hàng, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách xếp 5 học sinh vào 5 ghế: - Số cách xếp 5 học sinh vào 5 ghế là $$ (5 giai thừa). $$ 2. Tìm số cách xếp sao cho 2 học sinh nam ngồi ở đầu hàng và cuối hàng: - Chọn 2 trong 3 học sinh nam ngồi ở hai vị trí đầu và cuối hàng. Có $$ cách chọn (vì có 3 nam, chọn 1 nam cho vị trí đầu, còn lại 2 nam chọn 1 nam cho vị trí cuối). - Sau khi đã chọn 2 nam ngồi ở đầu và cuối, còn lại 3 học sinh (1 nam và 2 nữ) ngồi vào 3 ghế còn lại. Số cách xếp 3 học sinh vào 3 ghế là $$. $$ - Vậy số cách xếp sao cho 2 học sinh nam ngồi ở đầu hàng và cuối hàng là: $$ 3. Tính xác suất: - Xác suất để 2 học sinh nam ngồi ở đầu hàng và cuối hàng là tỉ số giữa số cách xếp thỏa mãn điều kiện và tổng số cách xếp. $$ Vậy xác suất để 2 học sinh nam ngồi ở đầu hàng và cuối hàng là $$. Câu 17. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình của parabol và tìm điểm cực đại của nó. 1. Xác định hệ tọa độ: - Lấy trục Ox nằm ngang, đi qua giữa hai chân cổng. - Lấy trục Oy thẳng đứng, đi qua đỉnh của cổng. 2. Xác định các điểm trên parabol: - Hai chân cổng nằm ở hai điểm đối xứng qua trục y, cách nhau 9m. Vậy mỗi chân cổng cách trục y là 4,5m. - Người đứng cách chân cổng 0,5m, tức là cách trục y là 4,5m + 0,5m = 5m. Đầu người chạm cổng, tức là điểm (5, 1,6). 3. Lập phương trình parabol: - Parabol có dạng $$. Vì trục y đi qua đỉnh của parabol, nên $$. Phương trình trở thành $$. - Điểm (0, h) là đỉnh của parabol, vậy $$. Phương trình trở thành $$. 4. Thay điểm (5, 1,6) vào phương trình: $$ $$ 5. Thay điểm (-4,5, 0) vào phương trình: $$ $$ 6. Giải hệ phương trình: $$ Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: $$ $$ $$ Thay $$ vào phương trình $$: $$ $$ $$ Do $$ là chiều cao của cổng, nên $$ phải là giá trị dương. Ta đã mắc lỗi trong quá trình tính toán. Hãy kiểm tra lại. Thay lại: $$ Vậy chiều cao của cổng là: $$ Đáp số: Chiều cao của cổng là 6,83 m. Câu 18. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp quy nạp và trừ trực tiếp. Bước 1: Tính tổng số cách chọn 5 bạn từ 16 bạn (không yêu cầu có Hạnh hoặc Huy): $$ Bước 2: Tính số cách chọn 5 bạn không có Hạnh và không có Huy: Số bạn còn lại là 14 bạn (loại bỏ Hạnh và Huy). Số cách chọn 5 bạn từ 14 bạn: $$ Bước 3: Tính số cách chọn 5 bạn trong đó phải có Hạnh hoặc Huy: Số cách chọn 5 bạn trong đó phải có Hạnh hoặc Huy là tổng số cách chọn 5 bạn trừ đi số cách chọn 5 bạn không có Hạnh và không có Huy: $$ Bây giờ, chúng ta sẽ tính cụ thể các giá trị: $$ $$ Vậy số cách chọn 5 bạn trong đó phải có Hạnh hoặc Huy là: $$ Đáp số: 2366 cách Câu 19. Để phương trình $$ có nghiệm, ta cần tính $$ và yêu cầu $$. Bước 1: Tính $$: $$ $$ $$ Bước 2: Yêu cầu $$: $$ $$ Bước 3: Xét dấu của biểu thức $$: - $$ - $$ Ta có bảng xét dấu: $$ Từ bảng xét dấu, ta thấy $$ khi $$ hoặc $$. Bước 4: Tìm các giá trị nguyên của $$ trong khoảng $$ thỏa mãn điều kiện trên: - Các giá trị nguyên $$: $$. Số lượng là $$ giá trị. - Các giá trị nguyên $$: $$. Số lượng là $$ giá trị. Tổng cộng có: $$ Vậy có tất cả $$ giá trị nguyên $$ thuộc $$ để phương trình $$ có nghiệm. Câu 20. Để viết phương trình đường thẳng $$ đi qua điểm $$ và cách điểm $$ một khoảng lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình đường thẳng AB: - Vector $$. - Phương trình đường thẳng AB có dạng: $$. - Rút gọn: $$. 2. Tìm đường thẳng vuông góc với AB đi qua A: - Đường thẳng vuông góc với AB sẽ có hệ số góc là $$. - Slope của AB là $$, vậy slope của đường thẳng vuông góc là $$. - Phương trình đường thẳng đi qua A(1,1) với slope $$: $$ $$ $$ $$ 3. Kết luận: - Đường thẳng $$ đi qua điểm $$ và cách điểm $$ một khoảng lớn nhất là đường thẳng vuông góc với AB đi qua A. - Vậy phương trình của đường thẳng $$ là: $$ Đáp số: $$. Câu 21. Giả sử giá vé được giảm đi $$ đô la, với $$. Số vé bán được sẽ là: $$ Doanh thu từ việc bán vé là: $$ Để đơn vị tổ chức không bị lỗ, doanh thu phải lớn hơn hoặc bằng chi phí tổ chức: $$ Phát triển và đơn giản hóa bất đẳng thức: $$ $$ $$ $$ $$ Giải phương trình bậc hai: $$ Áp dụng công thức nghiệm: $$ $$ $$ $$ $$ Tìm các nghiệm: $$ $$ Bất đẳng thức $$ đúng trong khoảng: $$ Vậy giá vé phải nằm trong khoảng: $$ Tính $$: $$ Đáp số: 33.5 Câu 22. Phương trình cho mặt cắt của gương là $$. Đây là phương trình của một hypebol với trục thực nằm trên trục hoành. Trong phương trình này: - $$ nên $$ - $$ nên $$ Khoảng cách từ tâm của hypebol đến mỗi tiêu điểm là $$, được tính bằng công thức: $$ Thay các giá trị của $$ và $$ vào công thức: $$ Vậy khoảng cách từ quang tâm của máy ảnh đến đỉnh của gương là $$. Đáp số: $$ Câu 23. Để tính xác suất để bạn An và bạn Bình có phần thưởng giống nhau, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số cách chọn 2 quyển sách cho mỗi học sinh: - Tổng số quyển sách là: 7 + 8 + 9 = 24 quyển. - Mỗi học sinh được 2 quyển sách khác nhau, do đó số cách chọn 2 quyển sách từ 24 quyển là: $$ 2. Tính số cách chọn 2 quyển sách cho bạn An và bạn Bình có phần thưởng giống nhau: - Số cách chọn 2 quyển sách giống nhau cho bạn An và bạn Bình là số cách chọn 2 quyển sách từ 24 quyển: $$ 3. Tính xác suất: - Xác suất để bạn An và bạn Bình có phần thưởng giống nhau là: $$ Vậy xác suất để bạn An và bạn Bình có phần thưởng giống nhau là 1.