Câu 1:
Để tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số :
Ta có:
Đạo hàm của là:
2. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm :
Thay vào đạo hàm :
3. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm :
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm chính là giá trị của đạo hàm tại điểm đó, tức là:
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là .
Đáp số:
Câu 2:
Để tìm gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất, chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm phương trình vận tốc:
Vận tốc là đạo hàm của phương trình chuyển động :
2. Tìm thời điểm vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của , ta cần tìm đạo hàm của và đặt nó bằng 0:
Đặt :
3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại :
Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của :
Vì , nên đạt giá trị nhỏ nhất tại .
4. Tìm gia tốc tại thời điểm :
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc :
Tại :
Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất là m/s².
Đáp số: m/s².
Câu 3:
Để tính thể tích khối chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính diện tích đáy ABC:
- Đáy ABC là tam giác đều cạnh 4.
- Diện tích tam giác đều được tính theo công thức:
Với :
2. Xác định chiều cao của khối chóp:
- Vì cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SA chính là chiều cao của khối chóp S.ABC.
- Chiều cao SA = 3.
3. Tính thể tích khối chóp S.ABC:
- Thể tích khối chóp được tính theo công thức:
Với và :
4. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục:
- Giá trị của khoảng 6.928.
- Làm tròn đến hàng phần chục: 6.9
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là 6.9.
Câu 4:
Gọi A là biến cố "chọn ra một học sinh khá môn Địa", B là biến cố "chọn ra một học sinh khá môn Sử".
Ta có P(A) = 0,72; P(B) = 0,52; P() = 0,27
P() = P() + P() - P()
= (1 - P(A)) + (1 - P(B)) - P()
= (1 - 0,72) + (1 - 0,52) - 0,27
= 0,59
Mặt khác, P() = 1 - P(A B)
Suy ra P(A B) = 1 - P() = 1 - 0,59 = 0,41
Vậy xác suất học sinh đó khá cả hai môn Địa và Sử là 0,41.
Câu 1
Để tính đạo hàm của hàm số , chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản.
Bước 1: Xác định đạo hàm của mỗi thành phần trong hàm số.
- Đạo hàm của :
- Đạo hàm của :
- Đạo hàm của hằng số 2025:
Bước 2: Kết hợp các đạo hàm đã tính được.
Vậy đạo hàm của hàm số là:
Câu 2
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ
Diện tích đáy:
- Đáy của lăng trụ là tam giác đều ABC với cạnh bằng 2a.
- Diện tích tam giác đều được tính bằng công thức:
Chiều cao của lăng trụ:
- Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC.
- Chiều cao của lăng trụ là đoạn thẳng từ A' đến G, tức là AA'.
- Theo đề bài, .
Bước 2: Tính thể tích khối lăng trụ
Thể tích của khối lăng trụ được tính bằng công thức:
Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC:
- Đường thẳng AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC), do đó AA' vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC), bao gồm cả đường thẳng BC.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC chính là khoảng cách từ điểm A' đến đường thẳng BC.
Khoảng cách từ điểm A' đến đường thẳng BC:
- Vì AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên khoảng cách từ A' đến BC chính là khoảng cách từ G (trọng tâm của tam giác ABC) đến BC.
- Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến của tam giác đều thành tỉ lệ 2:1, nghĩa là G cách mỗi đỉnh của tam giác đều một khoảng là chiều cao của tam giác đều.
Chiều cao của tam giác đều ABC:
Khoảng cách từ G đến BC:
Vậy khoảng cách từ A' đến BC cũng là:
Kết luận:
a) Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là:
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC là:
Câu 3
Để tính xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt, ta có thể sử dụng phương pháp tính xác suất của sự kiện đối lập.
Bước 1: Tính xác suất để cả hai động cơ đều không chạy tốt.
- Xác suất để động cơ I không chạy tốt là .
- Xác suất để động cơ II không chạy tốt là .
Vì hai động cơ hoạt động độc lập với nhau, nên xác suất để cả hai động cơ đều không chạy tốt là:
Bước 2: Tính xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt.
- Sự kiện "có ít nhất một động cơ chạy tốt" là sự kiện đối lập của "cả hai động cơ đều không chạy tốt".
Do đó, xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt là:
Vậy xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt là .
Câu 4
Để tính vận tốc của vật tại thời điểm giây, ta cần tìm đạo hàm của phương trình chuyển động .
Phương trình chuyển động của vật là:
Bước 1: Tìm đạo hàm của để xác định vận tốc tức thời :
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm cosinus:
Trong đó, , nên:
Do đó:
Bước 2: Thay vào phương trình vận tốc:
Bước 3: Tính giá trị của :
Vì là hàm tuần hoàn với chu kỳ , ta có:
Bước 4: Thay giá trị này vào phương trình vận tốc:
Bước 5: Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất:
Vậy vận tốc của vật tại thời điểm giây là:
Câu 5
Để tính độ dốc tối đa của mặt cầu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định phương trình của parabol:
- Ta giả sử đỉnh của parabol nằm tại điểm vì chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là 5m.
- Parabol có dạng , trong đó là hệ số cần tìm.
2. Xác định tọa độ hai điểm cuối của parabol:
- Hai điểm cuối của parabol cách nhau 370m, do đó mỗi bên là 185m.
- Tọa độ hai điểm cuối là và .
3. Thay tọa độ vào phương trình để tìm :
- Thay tọa độ điểm vào phương trình:
4. Tìm độ dốc tối đa:
- Độ dốc là góc giữa mặt cầu và mặt phẳng nằm ngang.
- Độ dốc tối đa xảy ra tại điểm xa nhất từ đỉnh cầu, tức là tại điểm hoặc .
- Độ dốc được xác định bởi đạo hàm của phương trình parabol tại điểm này:
- Tại điểm :
- Độ dốc là góc mà tiếp tuyến tạo với trục hoành:
- Do đó:
5. Kết luận:
- Độ dốc tối đa của mặt cầu là:
Đáp số: