Giúp mình với! Cho hình chóp SABC là tam giác đều cạnh,2a, SA vuông góc với đáy và SA=3a,Tính thể tích khối chóp,Gọi M là trung điểm BC. Tính khoảng cách,giữa 2 đường thẳng AM và SC

Question

Accepted Answer

{"userId":5298909,"userName":"Anh Nguyễn"}

1. Tính thể tích khối chóp

Đáy $ riangle ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$ nên diện tích đáy là:

$$S_{ABC} = \frac{(2a)^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$$

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$$V_{S.ABC} = \frac{1}{3}S_{ABC}.SA = \frac{1}{3}.a^2\sqrt{3}.3a = a^3\sqrt{3}$$

2. Tính khoảng cách giữa AM và SC

Gọi N là trung điểm của AC. Vì $ riangle ABC$ đều nên $AM \perp BC$ và $AM = 2a.\frac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Ta có: $BC \perp AM$, $BC \perp SA$ nên $BC \perp (SAM)$.

Do đó, $BC \perp SM$.

Xét $ riangle SAC$: $SN \perp AC$ và $SA \perp AC$ nên $AC \perp (SAN)$, suy ra $AC \perp MN$.

Do đó $MN$ là đoạn vuông góc chung của AM và SC.

Khoảng cách giữa AM và SC là MN.

Xét $ riangle SAM$ vuông tại A:

$$SM = \sqrt{SA^2 + AM^2} = \sqrt{(3a)^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{9a^2 + 3a^2} = 2a\sqrt{3}$$

Xét $ riangle SAC$ vuông tại A:

$$SN.SC = SA.AC \Rightarrow SN = \frac{SA.AC}{SC} = \frac{3a.2a}{2a\sqrt{3}} = a\sqrt{3}$$

Xét $ riangle SAN$:

$$AN = \frac{1}{2}AC = a$$

Áp dụng định lý Pytago trong $ riangle AMN$:

$$MN^2 = AN^2 + AM^2 - 2.AN.AM.cos\widehat{NAM}$$

Ta có: $cos\widehat{NAM} = cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$

$$MN^2 = a^2 + 3a^2 - 2.a.a\sqrt{3}.\frac{1}{2} = 4a^2 - a^2\sqrt{3}$$

$$MN = a\sqrt{4-\sqrt{3}}$$

Vậy khoảng cách giữa AM và SC là $a\sqrt{4-\sqrt{3}}$.

Kết luận:

- Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $a^3\sqrt{3}$.

- Khoảng cách giữa AM và SC là $a\sqrt{4-\sqrt{3}}$.